Para a questão de matemática, pensei em algo relativamente difícil (pois, do contrário, não seria desafio), mas não impossível, para não desmotivar as pessoas a tentarem. Escolhi então um tema de matemática financeira, pelo seguinte motivo: o jeito usual de se complicar uma questão de matemática financeira é dificultando os cálculos. E eu sabia que, mesmo que todo mundo "apanhasse" dos cálculos, ainda assim, querendo, seria suficiente usar um Excel para chegar à resposta.
Os depósitos são de 500, 600, 700, ... , e assim por diante, seguindo uma PA, até o vigésimo depósito.
Para calcular o vigésimo termo da PA, basta partirmos do primeiro termo e somarmos a razão 19 vezes:
a_{20}=a_1+19 times 100 = 500+1.900=2.400
O último depósito é de R$ 2.400,00.
O valor futuro do nosso fluxo de caixa, na data do último depósito, fica:
M=500 times 1,01^{19}+600 times 1,01^{18}+700 times 1,01^{17}+ cdots + 2.300 times 1,01+2.400
(equação 1)
Agora vou multiplicar todos os termos da equação por 1,01:
1,01M=500 times 1,01^{20}+600 times 1,01^{19}+700 times 1,01^{18}+ cdots + 2.300 times 1,01^2+2.400 times 1,01
(equação 2)
Agora vou subtrair as duas equações:
0,01M = 500 times 1,01^{20} + 100 times 1,01^{19}+100 times 1,01^{18}+ cdots + 100 times 1,01-2.400
Pronto, essa foi a principal sacada para matar a questão. Basicamente precisávamos construir as duas equações e depois subtrair uma da outra.
Se você eventualmente teve dificuldades com esse processo, detalho melhor ao final do comentário [1].
Podemos agora colocar 100 em evidência.
0,01M=500 times 1,01^{20} + 100 times color{red}{(1,01^{19}+1,01^{18}+ cdots + 1,01)}-2.400
(equação 3)
Em vermelho temos a soma dos termos de uma PG, com primeiro termo valendo 1,01, último termo valendo 1,01^{19} e razão igual a 1,01. A soma dos "n" termos da PG é dada por:
{a_1times (q^n-1) over q-1} = {1,01 times (1,01^{19}-1) over 1,01-1}
={1,01^{20}-1,01 over 0,01}
={1,22 - 1,01 over 0,01} = {0,21 over 0,01} = 21
Voltando à equação (3):
0,01M=500 times 1,22+100 times 21 - 2.400
0,01M = 610+2.100-2.400=310
M=31.000
Portanto, a taxa de saída é dada por:
0,1% times 31.000=31
Resposta: A
A dificuldade da questão recai no fato de não estarmos diante de uma renda uniforme, mas sim variável. Este tipo de problema é bastante raro em provas, mas de vez em quando aparece. Como exemplo, segue uma questão da Ceperj:
Nota:
[1] As nossas duas equações eram:
M=500 times 1,01^{19}+600 times 1,01^{18}+700 times 1,01^{17}+ cdots + 2.300 times 1,01+2.400
(equação 1)
1,01M=500 times 1,01^{20}+600 times 1,01^{19}+700 times 1,01^{18}+ cdots + 2.300 times 1,01^2+2.400 times 1,01
(equação 2)
Do lado esquerdo da igualdade, teremos 1,01M-M = M times (1,01-1) = 0,01M
Do lado direito, temos que analisar por partes:
-
500 times 1,01^{20} não tem par, fica desse jeito mesmo
-
Em seguida subtraímos o par que depende de 1,01^{19}: 600 times 1,01^{19}-500 times 1,01^{19}= 1,01^{19} times (600-500) = 100 times 1,01^{19}
-
Fazemos o mesmo para o par seguinte: 700 times 1,01^{18} - 600 times 1,01^{18} = 1,01^{18} times (700-600) = 100 times 1,01^{18}
E assim por diante.
Já o termo final (-2.400) também fica sem par, deixamos desse jeito mesmo.
