Recebi do Maikon, aluno do Tec, pedido de resolução de três questões da Consulplan, dos concursos de
01) Numa papelaria são vendidos três tipos de lápis e ‘n’ tipos de caneta. Se o número de maneiras de se comprar dois lápis e duas canetas nessa papelaria é igual a 30, então ‘n’ é igual a: A) 4. B) 5. C) 6. D) 8.
Resolução:
Questão cobrando o caso de "combinação com repetição", que nos meus cursos eu gosto de tratar como "permutação com repetição".
Há 3 tipos lápis, e queremos escolher 2. A ordem de escolha não importa (por isso é combinação), mas podemos pegar mais de um lápis do mesmo tipo (por isso é com repetição).
Sendo n o número de categorias e p a quantidade de elementos que selecionaremos, o número de maneiras de fazer a escolha é dada por:
(n+p-1)! over (n-1)! times p!
={4! over 2! times 2!}
=color{red}{6}
Há 6 maneiras de escolhermos a dupla de lápis.
Para as canetas, são "n" categorias, e vamos escolher 2. O número de maneiras de se fazer a escolha é:
{(n+2-1)! over (n-1)! times 2!}
={(n+1)! over (n-1)! times 2} (*)
=color{red}{{(n+1) times n over 2}}
O número total de formas de escolher os lápis e as canetas é dado pelo produto das quantias em vermelho
30=6 times {(n+1) times n over 2}
n times (n+1) = 10
Nenhuma das alternativas satisfaz a esta equação. Caberia recurso.
Para chegar ao gabarito da banca, precisamos mudar o enunciado.
01) Numa papelaria são vendidos três tipos de lápis e ‘n’ tipos de caneta. Se o número de maneiras de se comprar dois lápis de tipos diferentes e duas canetas, também de tipos diferentes, nessa papelaria é igual a 30, então ‘n’ é igual a: A) 4. B) 5. C) 6. D) 8.
Agora sim, caímos num caso de combinação normal, sem repetição, pois foi fixado que os tipos de lápis devem ser diferentes. Idem para as canetas.
Há C_{3,2} = 3 formas de escolher os dois lápis.
Há C_{n,2} maneiras de escolher as canetas.
De modo que o número total de escolhas fica:
3 times C_{n,2} = 30
C_{n,2} = 10
n=5
Se você não se lembrasse que C_{5,2} = 10, poderia testar rapidamente as alternativas.
Resposta: B
02) Um triângulo retângulo possui 216 cm2 de área. Sabendo que esse triângulo é semelhante ao triângulo pitagórico de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, então seu perímetro mede: A) 56 cm. B) 64 cm. C) 68 cm. D) 72 cm.
Resolução.
O triângulo pitagórico 3/4/5 tem base medindo 3 e altura medindo 4. De modo que sua área fica:
{3 times 4 over 2} = 6
O triângulo pedido na questão tem área 216. A razão entre as áreas fica:
{216 over 6} = 36
A razão entre as áreas é 36. Lembrando que a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança (r):
r = sqrt {36} = 6
A razão de semelhança vale 6.
O perímetro do triângulo menor vale: 3+4+5=12
Portanto, o perímetro do triângulo grande mede: 12 times r = 12 times 6 = 72
03) Ronaldo faz academia de ginástica e todos os dias corre na esteira, obedecendo a certo padrão. Ele começa seu exercício na esteira com determinada velocidade e a cada minuto a aumenta 0,72 km/h. Certo dia, ele percorreu 2.610 m em 15 minutos. A velocidade inicial de Ronaldo nesse dia foi de: A) 5 km/h. B) 5,4 km/h. C) 5,76 km/h. D) 6 km/h.
Resolução:
Seja d_1 a distância percorrida no primeiro minuto, d_2 a distância percorrida no segundo minuto, e assim por diante.
A cada minuto, ele aumenta a velocidade em 0,72 km/h.
0,72 times {1 text{ km} over 1 text{ hora}} = 0,72 times {1.000 text { m} over 60 text { min}}
=12 text { m/min}
A cada minuto ele aumenta a velocidade em 12m/min. Ou seja, no minuto seguinte ele anda 12 metros a mais do que andara no minuto anterior.
Assim, d_1, , d_2, , cdots, , d_{15} formam uma PA de razão 12.
A soma dos termos da PA vale:
{d_1 + d_{15} over 2} times 15 = 2.610
d_1+d_{15} = 348 (I)
Além disso, a diferença entre d_{15} e d_1 corresponde a 14 vezes a razão.
d_{15}-d_1 = 14 times 12 (II)
Subtraindo as duas equações:
2d_1 = 348 - 14 times 12
d_1=90
No primeiro minuto ele percorre 90 metros. Ou seja, inicia com uma velocidade de 90 metros por minuto.
90 text{m/min}
Multiplicando por 60, convertemos isso em metros por hora. E dividindo por 1.000, convertemos finalmente em km por hora.
90 times 60 div 1.000=5,4
A velocidade inicial é de 5,4 km/h.
(*) Detalhando melhor esta parte aqui:
{(n+1)! over (n-1)! times 2}
Vamos desenvolver o maior fatorial, até chegarmos ao menor fatorial:
={(n+1) times n times (n-1)! over (n-1)! times 2}
Agora basta simplificar os termos que se repetiram:
={(n+1) times n times cancel{(n-1)!} over cancel {(n-1)!} times 2}
={(n+1) times n over 2}
