Recebi um pedido, feito pela Luciana Lage, para resolver a questão a seguir, extraída do concurso elaborado pela Quadrix.
Um fundo de investimentos de um determinado banco oferece uma taxa anual de juros de 20%. Qual é o valor da
taxa mensal equivalente dessa aplicação, considerando-se juros compostos?
Observação: considere que 1 ano possui 360 dias e que 1 mês possui 30 dias.
(A) 1,53%
(B) 2,52%
(C) 1,20%
(D) 0,55%
(E) 0,88%
Resolução
(1) Supondo que a banca tenha fornecido, a parte, uma folha contendo potências com expoentes fracionários.
Sejam i_a a taxa anual (20%) e i_m a taxa mensal. A cada 1 capitalização anual, temos 12 capitalizações mensais. Logo:
1+i_a=(1+i_m)^{12}
1,2=(1+i_m)^{12}
i_m=1,2^{1 over 12}-1
É neste ponto que precisamos de uma tabela, para nos informar que a potência acima vale 1,015309. Resultado:
i_m=1,015309-1=1,5309 %
Resposta: A
(2) Supondo que a banca não forneceu a tabela
Como a taxa é pequena, e o período é pequeno, usar juros simples ou compostos dá pouca diferença.
Se fosse no regime simples, a taxa mensal seria de:
{20 % over 12} = 1,67 %
No regime composto, como teremos juros sobre juros, precisamos de uma taxa um pouquinho menor que 1,67% para chegar nos 20% anuais. Só com essa análise dá para marcar a letra "A".
(3) Se o candidato não ficar seguro entre as letras A e C, pode testar cada uma delas. Basta capitalizar 1,53% por 12 meses, depois capitalizar 1,2% por 12 meses, e ver qual resulta em 20% ao ano.
Testando a letra A:
1,0153^{12} = ?
Para fazer essa conta, podemos aproximar com o binômio de Newton:
approx 1 + 0,0153 times C_{12,1}+0,0153^2 times C_{12,2}
A vantagem disso foi trocar um expoente 12 por um expoente 2.
Continuando:
approx 1 + 0,0153 times 12+ 0,0153^2 times 66
approx 1,199
=1+19,9 %
Obtivemos já praticamente os 20% ao ano, o que comprova que a letra A é a correta.
