[Artigo atualizado em 22/01/2020, com correção nos comentários]
Boa tarde, pessoal.
Recebi por email o seguinte pedido de um aluno do TEC referente ao concurso da soldado da PM-BA aplicado no dia 19/01/2020.
Olá professores, poderiam me ajudar a elaborar recursos prováveis e que os senhores entendem que cabe anulação ?
Quero fundamentação para o recurso das questão:
13) Uma loja de eletroeletrônicos decide realizar o sorteio de dois brindes para os clientes que comprarem um televisor.
No total, 200 clientes realizaram a compra de televisor e concorreram aos brindes, sendo 120 mulheres e 80 homens.
Considerando que ao ganhar um brinde não se pode concorrer a outro brinde, assinale a alternativa que apresenta corretamente a probabilidade de que os ganhadores sejam um homem e uma mulher.
a) 50/199
c) 9/40
e) 6/25
b) 1/4
d) 48/199
15) Analise a proposição composta a seguir.
Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo.
Assinale a alternativa que apresenta a negação dessa proposição composta.
a) Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo
b) Maria não viaja para o Rio de Janeiro e Fernando não viaja para São Paulo
c) Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo
d) Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo
e) Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo
As duas questões realmente possuem erros que justificam anulações. Vejam comentários.
Comentário da questão 13
Encontramos a probabilidade dividindo os casos favoráveis (maneiras de escolher 1 mulher e 1 homem) pelos casos possíveis (todas as maneiras de escolher 2 pessoas). Seu cálculo, portanto, envolve duas questões de análise combinatória, uma para o numerador (cálculo do número de casos favoráveis) e uma para o denominador (cálculo de número de casos possíveis).
Muitas vezes nesses cálculos é indiferente considerar se a ordem de escolha importa ou não.
O importante é manter a coerência, por exemplo, se no numerador consideramos que a ordem importa, então no denominador também devemos considerar que a ordem de escolha importa.
1a solução: a ordem não importa.
A quantidade de
casos favoráveis é o número de maneiras para escolher um homem e uma mulher.
Como a ordem não importa, podemos fixar a ordem de escolha, por exemplo, considerando que a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa escolhida é mulher.
Para a primeira escolha, temos 80 opções, pois são 80 homens.
Para a segunda escolha, temos 120 opções, as 120 mulheres.
| 1a escolha |
2a escolha |
| 80 |
120 |
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) existem
80×12080×120 casos favoráveis.
O número de
casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.
Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de
120+80=200120+80=200 clientes.
Como a ordem não importa e não há reposição, estamos em um caso de combinação. O número de casos possíveis é dado pela combinação de 200 pessoas tomadas 2 a 2:
C200,2=200×1992C200,2=200×1992
A probabilidade é dada pela divisão dos
80×12080×120 favoráveis com os
200×1992200×1992 casos possíveis:
80×120200×199280×120200×1992
Simplificando essa expressão, obtemos:
9619996199
Não há alternativa correta e a questão devia ter sido anulada.
2a solução: a ordem importa.
Casos favoráveis.
Primeiramente fixamos a ordem: a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa é mulher.
Vimos acima que as maneiras de realizar essa escolha vale
80×12080×120.
Mas agora estamos considerando que a ordem de escolha importa, e temos um total de 2 ordens possíveis:
- HM (primeira pessoa é homem e segunda pessoa é mulher)
- MH (primeira pessoa escolhida é mulher e a segunda é homem)
Para cada uma dessas sequências há
80×12080×120 possibilidades, então para as duas sequências existem:
2×80×1202×80×120 casos favoráveis.
Casos possíveis.
O número de casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.
Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de
120+80=200120+80=200 clientes. Portanto, temos 200 maneiras de escolher a 1
a pessoa.
Para a escolha da segunda pessoa, restam
200−1=199200−1=199 opções, já que 1 das 200 pessoas já foi escolhida.
Aplicando o PFC, são
200×199200×199 casos possíveis.
Probabilidade.
A probabilidade é dada pela divisão dos
2×80×1202×80×120 casos favoráveis com os
200×199200×199 casos possíveis:
2×120×80200×1992×120×80200×199
Simplificando essa expressão, obtemos:
9619996199
Gabarito preliminar: Letra D.
Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.
Comentário da questão 15
"Maria viaja para o Rio de Janeiro
se e somente se Fernando viaja para São Paulo" é um bicondicional do tipo:
a↔ba↔b
Em que:
- aa: Maria viaja para o Rio de Janeiro
- bb: Fernando viaja para São Paulo
Um bicondicional "
a↔ba↔b" somente é verdadeiro quando as duas parcelas têm valores lógicos iguais.
Portanto, a negação de um bicondicional somente será verdadeira quando ocorrer o contrário: uma parcela é V e a outra é F.
Esse é o mesmo resultado da disjunção exclusiva "
a∨−−ba∨_b": é verdadeira quando uma parcela é V e a outra é F. E o mesmo ocorre com a disjunção exclusiva
¬a∨−−¬b¬a∨_¬b.
Assim, as proposições "
¬(a↔b)¬(a↔b)" , "
a∨−−ba∨_b" e "
¬a∨−−¬b¬a∨_¬b" são equivalentes, possuem a mesma tabela verdade:
| a a |
b b |
¬(a↔b)¬(a↔b) |
a∨−−ba∨_b |
¬a∨−−¬b¬a∨_¬b |
| V |
V |
F |
F |
F |
| V |
F |
V |
V |
V |
| F |
V |
V |
V |
V |
| F |
F |
F |
F |
F |
Vimos que a negação de bicondicional "
a↔ba↔b" equivale a uma disjunção exclusiva exposta na letra C:
a∨−−ba∨_b.
Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro
ou Fernando viaja para São Paulo
Equivale também à disjunção exclusiva exposta na letra D:
¬a∨−−¬b¬a∨_¬b
Ou Maria
não viaja para o Rio de Janeiro
ou Fernando
não viaja para São Paulo
Há duas alternativas corretas e a questão deve ser anulada.
Gabarito preliminar: Letra C.
Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.
