Quer acelerar seus resultados, estudando com questões de Matemática, operações básicas, de uma forma diferente, mas com eficácia comprovada?
Nas próximas linhas você terá acesso a um conteúdo exclusivo do Tec Concursos. Bons estudos!
Operações básicas é um conteúdo de Matemática cobrado em grande parte dos concursos públicos no Brasil. Pensando nisso, o professor Vítor Menezes preparou um material explicativo para intensificar seus estudos.
Não esqueça de praticar o que aprendeu com questões inéditas sobre o tema, combinado?
As quatro operações básicas são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Não vamos ensinar neste material como se faz uma adição, uma subtração, ou qualquer outra operação, pois estes são conceitos corriqueiros, que já trazemos desde o ensino fundamental.
Vamos aproveitar a oportunidade para:
Exemplo: 2+3=5
Dizemos que "2" e "3" são as parcelas, e "5" é a soma ou o total.
A operação de adição apresenta algumas propriedades:
Não localizei questões cobrando estes termos acima.
As questões geralmente cobram a própria operação de adição, como é o caso do exemplo abaixo.
(Fundação Carlos Chagas)
No esquema abaixo tem-se o algoritmo da adição de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E.
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & 1 & 4 & B & 6 \\ + & 1 & 0 & C & 8 & D \\ \hline \, & 6 & E & 8 & 6 & 5 \end{array}
Determinando-se corretamente o valor dessas letras, então, A + B - C + D - E é igual a
a) 25
b) 19
c) 17
d) 10
e) 7
Resolução:
Vamos iniciar a análise com o algarismo das unidades. Note que a soma 6 + D deve ser igual a 15, para que o algarismo das unidades da soma seja 5.
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & 1 & 4 & B & \color{red} 6 \\ + & 1 & 0 & C & 8 & \color{red} D \\ \hline \, & 6 & E & 8 & 6 & \color{red}5 \end{array}
Logo:
6+D=15
D=9
Nas unidades temos a soma: 6+9=15. Como o resultado é 15, anotamos a unidade 5 e "subimos" a dezena 1.
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & 1 & 4 & \overset{\color{red}{+1}}B & 6 \\ + & 1 & 0 & C & 8 & 9 \\ \hline \, & 6 & E & 8 & 6 & 5 \end{array}
Agora vamos para as dezenas. A soma 1+B+8 deve ser igual a 16, para que o algarismo das dezenas do resultado seja 6.
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & 1 & 4 & \overset{\color{red}{+1}} {\color{red}B} & 6 \\ + & 1 & 0 & C & \color{red}8 & 9 \\ \hline \, & 6 & E & 8 & \color{red}6 & 5 \end{array}
Logo:
1+B+8=16
B=16-8-1\to B=7
Então substituímos B por 7 e subimos 1 para as centenas:
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & 1 & \overset{+1}4 & \overset{+1} 7 & 6 \\ + & 1 & 0 & C & 8 & 9 \\ \hline \, & 6 & E & 8 & 6 & 5 \end{array}
Agora vamos para as centenas. A soma 1+4+C deve ser igual a 8.
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & 1 & \overset{\color{red}{+1}}{\color{red}4} & \overset{+1} 7 & 6 \\ + & 1 & 0 & \color{red}C & 8 & 9 \\ \hline \, & 6 & E & \color{red} 8 & 6 & 5 \end{array}
1+4+C = 8\to C=3
Então substituímos C por 3:
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & 1 & \overset{+1}4 & \overset{+1} 7 & 6 \\ + & 1 & 0 & 3 & 8 & 9 \\ \hline \, & 6 & E & 8 & 6 & 5 \end{array}
Vamos agora para as unidades de milhar. A soma 1+0 é igual a E.
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & \color{red}1 & \overset{+1}4 & \overset{+1} 7 & 6 \\ + & 1 & \color{red} 0 & 3 & 8 & 9 \\ \hline \, & 6 & \color{red}E & 8 & 6 & 5 \end{array}
Portanto:
1+0=E
E=1
Substituímos E por 1.
\begin{array} {rrrrrr} \, & A & 1 & \overset{+1}4 & \overset{+1} 7 & 6 \\ + & 1 & 0 & 3 & 8 & 9 \\ \hline \, & 6 & 1 & 8 & 6 & 5 \end{array}
Finalmente, vamos para as dezenas de milhar. Temos a soma A + 1 = 6.
\begin{array} {rrrrrr} \, & \color{red}A & 1 & \overset{+1}4 & \overset{+1} 7 & 6 \\ + & \color{red} 1 & 0 & 3 & 8 & 9 \\ \hline \, & \color{red} 6 & 1 & 8 & 6 & 5 \end{array}
Portanto:
A+1=6
A=5
Agora que encontramos todos os números podemos fazer a conta pedida pela questão.
A+B-C+D-E = 5 + 7 - 3 + 9 - 1
=12-3+9-1
=9+9-1
=17
Resposta: C
Veja outro exemplo!
(Fundação Carlos Chagas)
Zeus é um aficcionado em matemática, pois quando lhe perguntaram sobre sua idade, ele respondeu: “Para saber a minha idade você deve decifrar o criptograma aritmético seguinte, que corresponde, de modo codificado, à adição de dois números naturais. Decifrado o criptograma, a minha idade é igual à soma dos algarismos que correspondem às letras da palavra FISCO”
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & O & S & S & O \\ + & F & O & S & S & O \\ \hline \, & C & I & S & C & O \end{array}
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, quantos anos tem Zeus?
a) 25
b) 24
c) 30
d) 22
e) 28
Resolução:
Vamos nos concentrar no algarismo das unidades.
A unidade da primeira parcela é “O”. A unidade da segunda parcela é “O”.
Somando estas duas unidades, obtemos um número cuja unidade também é “O”.
O único caso em que isso ocorre é:
0+0=0
Portanto, O=0. Vou substituir "O" por 0:
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & 0 & S & S & 0 \\ + & F & 0 & S & S & 0 \\ \hline \, & C & I & S & C & 0 \end{array}
Vamos agora focar no algarismo das dezenas.
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & 0 & S & \color{red}S & 0 \\ + & F & 0 & S & \color{red} S & 0 \\ \hline \, & C & I & S & \color{red} C & 0 \end{array}
S mais S resulta em um número cuja unidade é C.
Somar um número com ele próprio é o mesmo que multiplicar por 2.
Desta forma, o resultado é um número par.
Concluímos que C é par.
Como o algarismo 0 já foi usado (descobrimos que O = 0), então:
C = 2, 4, 6 ou 8
Vamos agora para o algarismo das centenas.
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & 0 & \color{red} S & S & 0 \\ + & F & 0 & \color{red} S & S & 0 \\ \hline \, & C & I & \color{red} S & C & 0 \end{array}
S somado com S está dando um número cuja unidade é S.
Mas como pode acontecer isso? Já vimos que S mais S resulta em unidade C.
Para os resultados serem diferentes, é porque as somas em questão são diferentes.
Conclusão: S mais S é maior ou igual a 10.
Isto faz com que, no primeiro caso, tenhamos: S+S = 1C.
Daí, anotamos a unidade (=C) e “subimos” a dezena 1.
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & 0 & \overset {+1}S & S & 0 \\ + & F & 0 & S & S & 0 \\ \hline \, & C & I & S & C & 0 \end{array}
No segundo caso, na verdade, temos S + S + 1, que resulta em um número cuja unidade é S.
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & 0 & \overset {\color{red}{+1}}{\color{red}S} & S & 0 \\ + & F & 0 & \color{red}S & S & 0 \\ \hline \, & C & I & \color{red}S & C & 0 \end{array}
Então procuramos um algarismo tal que S + S + 1 tem unidade S.
Se você testar, verá que o único algarismo possível é 9.
9 + 9 + 1 = 19 (note que 19 tem unidade 9).
Logo:
S=9
Substituindo S por 9:
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & 0 & \overset {+1}9 & 9 & 0 \\ + & F & 0 & 9 & 9 & 0 \\ \hline \, & C & I & 9 & C & 0 \end{array}
Com isso, já sabemos que C = 8. Isto porque 9 + 9 dá 18. Anotamos o a unidade 8 e subimos a dezena 1.
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & 0 & \overset {\color{red}{+1}}{\color{red}9} & 9 & 0 \\ + & F & 0 & \color{red}9 & 9 & 0 \\ \hline \, & 8 & I & \color{red}9 & 8 & 0 \end{array}
Vamos nos concentrar na centena, conforme destaque em vermelho acima.
9 mais 9 dá 18. Somamos ainda a dezena 1, que subiu. O resultado é 19, o que faz com que subamos 1 para as unidades de milhar.
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & \overset{+1} 0 & \overset {+1}9 & 9 & 0 \\ + & F & 0 & 9 & 9 & 0 \\ \hline \, & 8 & I & 9 & 8 & 0 \end{array}
Anotamos a unidade 9 e subimos a dezena 1.
Vamos para as unidades de milhar.
Temos 0 mais 0, que dá 0. Somando com o 1 que subiu, temos 1.
\begin{array}{rrrrrr} \, & F & \overset{\color{red}{+1}}{\color{red} 0} & \overset {+1}9 & 9 & 0 \\ + & F & \color{red}0 & 9 & 9 & 0 \\ \hline \, & 8 & \color{red}I & 9 & 8 & 0 \end{array}
Conclusão:
I=1
Ficamos com:
\begin{array}{rrrrrr} \, & \color{red} F & \overset{+1}0 & \overset {+1}9 & 9 & 0 \\ + & \color{red} F & 0 & 9 & 9 & 0 \\ \hline \, & \color{red} 8 & 1 & 9 & 8 & 0 \end{array}
Finalmente, F + F = 8. Logo, F = 4.
Portanto:
\begin{array}{rrrrrr} \, & 4 & \overset{+1}0 & \overset {+1}9 & 9 & 0 \\ + & 4 & 0 & 9 & 9 & 0 \\ \hline \, & 8 & 1 & 9 & 8 & 0 \end{array}
Com isso FISCO corresponde a: 41.980.
A soma dos algarismos é:
4+1+9+8+0=22
Gabarito: D
Exemplo: 5-3=2
Acima, 5 é o minuendo, 3 é o subtraendo e 2 é a diferença ou resto.
Propriedades:
A operação de subtração NÃO apresenta as seguintes propriedades:
5-2 \ne 2-5
(5-3)-1=1
5-(3-1)=3
Portanto: (5-3)-1 \ne 5-(3-1)
Exemplo de questão de prova:
(Fundação Carlos Chagas)
Dois números inteiros positivos x e y têm, cada um, 5 algarismos distintos entre si. Considerando que x e y não têm algarismos comuns e x > y, o menor valor que pode ser obtido para a diferença x − y é:
(A) 257.
(B) 256.
(C) 249.
(D) 247.
(E) 246.
Resolução:
Vamos dar nomes aos algarismos dos dois números:
X = ab.cde
Y = fg.hij
Queremos fazer:
ab.cde – fg.hij = ?
O primeiro número deve ser maior que o segundo (logo, a > f).
Queremos minimizar esta diferença.
Portanto, os dígitos a e f devem ser números consecutivos (2 e 1; ou 3 e 2; ou 4 e 3; e assim por diante). Com isso, minimizaremos a diferença entre as dezenas de milhar, e os dois números serão próximos.
Já tendo garantido que o primeiro número será maior, agora nossa estratégia será a seguinte.
Para os demais algarismos, faremos com que os dígitos de Y sejam muito maiores que os dígitos correspondentes em X. Isto fará com que a diferença X – Y seja pequena.
Para melhor compreensão, observem o seguinte exemplo, com números menores:
20-19=1
Notem que o primeiro número é maior, pois, analisando-se só os primeiros dígitos de cada número, temos que 2 > 1.
Mas a diferença entre ambos é pequena. Isto porque a unidade do segundo número foi muito maior que a do primeiro número (9 > 1).
No nosso caso, vamos tentar fazer algo semelhante.
O dígito g deve ser bem maior que b. Quanto maior esta diferença, melhor.
Esta diferença será a maior possível se b = 0 e g = 9.
a0.cde – f9.hij
Adotando esta mesma tática para os dígitos seguintes, temos que h = 8 e c = 1.
a0.1de – f9.8ij
E o raciocínio prossegue para os demais dígitos.
a0.123 – f9.876
Os únicos dígitos ainda não utilizados foram 4 e 5. Só podemos colocar estes dígitos no lugar de f e a.
50.123 – 49.876 = 247
Gabarito: D
Agora o conteúdo escrito:
Exemplo: 2 \times 3 = 6
2 e 3 são os fatores, e 6 é o produto.
Propriedades:
a \times (b+c)=a \times b+ a \times c
Exemplo de questão:
(Fundação Carlos Chagas)
Dado um número inteiro e positivo N, chama-se persistência de N a quantidade de etapas que são necessárias para que, através de uma sequência de operações preestabelecidas efetuadas a partir de N, seja obtido um número de apenas um dígito. O exemplo seguinte mostra que a persistência do número 7 191 é 3:
Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a persistência do número 8 464 é
(A) menor que 4.
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) maior que 6.
Resolução:
Primeiro multiplicamos os algarismos do número 8.464:
8 \times 4 \times 6 \times 4=768
Esta foi a primeira etapa.
Agora multiplicamos os algarismos de 768:
7 \times 6 \times 8=336
Esta foi a segunda etapa.
Dando sequencia, multiplicamos os algarismos de 336:
3 \times 3 \times 6= 54
Esta foi a terceira etapa.
Em seguida, temos:
5 \times 4=20
Que é a quarta etapa.
Por fim, na quinta etapa, temos:
2 \times 0 = 0
Foram necessárias cinco etapas para chegarmos a um número de um dígito. A persistência é igual a 5.
Gabarito: C
Mais outra questão:
(Fundação Getúlio Vargas)
Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo.
\begin{array} {rrrr} 1 & A & B & C \\ \, & \, & \times & 3 \\ \hline A & B & C & 4 \end{array}
O valor de A + B + C é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Resolução:
\begin{array} {rrrr} 1 & A & B & C \\ \, & \, & \times & 3 \\ \hline A & B & C & 4 \end{array}
"C" vezes 3 termina em 4. Logo, C só pode ser igual a 8 (pois 3 x 8 = 24, que termina em 4).
C = 8
\begin{array} {rrrr} 1 & A & B & 8 \\ \, & \, & \times & 3 \\ \hline A & B & 8 & 4 \end{array}
8 vezes 3 dá 24. A gente anota o resultado 4 e sobe "2".
\begin{array} {rrrr} 1 & A & \overset {\color{red} {+2}} B & 8 \\ \, & \, & \times & 3 \\ \hline A & B & 8 & 4 \end{array}
3 multiplicado por B, somado com 2, tem um resultado que termina em 8. Assim, 3 multiplicado por B termina em 8 - 2 = 6. Assim, B só pode ser 2 (pois 3 x 2 = 6).
\begin{array} {rrrr} 1 & A & \overset {\color{red} {+2}} 2 & 8 \\ \, & \, & \times & 3 \\ \hline A & 2 & 8 & 4 \end{array}
3 vezes A termina em 2. Assim, A só pode ser igual a 4 (pois 3 \times 4 = 12).
\begin{array} {rrrr} 1 & 4 & 2 & 8 \\ \, & \, & \times & 3 \\ \hline 4 & 2 & 8 & 4 \end{array}
A + B + C = 4 + 2 + 8 = 14
Resposta: E
Exemplo:
\begin{array} {rc} 13 & | \underline{\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, } \\ 1 & 3 \end{array}
Acima indicamos que a divisão de 13 por 4 dá um resultado igual a 3, com resto 1.
Nomes de cada termo:
Esta forma esquemática de representar a divisão nos permite ver a relação entre cada termo acima. Assim:
13=4 \times 3+1
\mathrm {dividendo = divisor \times quociente + resto}
Exemplo: vamos dividir 85 por 4.
Começamos a divisão.
Dividimos 8 por 4. O resultado é 2.
\begin{array} {rc} 85 & | \underline{\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, } \\ \, & 2 \end{array}
Duas vezes quatro é 8.
\begin{array} {rc} 85 & | \underline{\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, } \\ 8 \phantom{5} & 2 \end{array}
Subtraímos 8 de 8, o que dá zero.
\begin{array} {rc} 85 & | \underline{\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, } \\ \underline {8 \phantom{5} } & 2 \\ 0 \phantom{5} & \, \end{array}
A divisão acabou?
Não, ainda não, pois podemos "descer" o algarismo 5.
\begin{array} {rc} 85 & | \underline{\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, } \\ \underline {8 \phantom{5} } & 2 \\ 0 5 & \, \end{array}
05 dividido por 4 dá 1.
\begin{array} {rc} 85 & | \underline{\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, } \\ \underline {8 \phantom{5} } & 21 \\ 0 5 & \, \\ \underline {04} & \, \\ 01 & \, \end{array}
1 vezes 4 dá 4. Em seguida fazemos a subtração 5 - 4 = 1
Agora não temos mais algarismos para "descer". A divisão acabou.
Portanto:
Vejam que:
\mathrm {dividendo = divisor \times quociente + resto}
85=4\times 21+1
Agora quero chamar a atenção para detalhes importantes, que estão relacionados aos erros mais comuns na operação de divisão.
1º) O resto é sempre menor que o divisor.
Se obtivéssemos um resto maior que o divisor, é porque erramos a divisão. A divisão não terminou.
Exemplo: 25 dividido por 6.
Poderíamos dizer que o quociente é 3, e que o resto é 7, assim:
25=6 \times 3+7
\mathrm {dividendo = divisor \times quociente + resto}
Mas isso está completamente errado! Apesar de a equação ser verdadeira, ou seja, apesar de realmente 25 ser igual a 6 x 3 + 7, a nossa divisão está errada.
A ideia da divisão é nos dizer quantas vezes um número "cabe" dentro do outro.
O número 6 cabe quatro vezes dentro do 25.
Basta imaginar que temos réguas pequenas, coloridas, de 6 cm. E uma régua grande, preta, de 25 cm.
Se disséssemos que 25 dividido por 6 dá apenas 3, estamos dizendo que conseguimos emparelhar apenas 3 réguas pequenas:
Acima temos as réguas coloridas de 6 cm (amarelo, verde e vermelho) e a régua preta grande, de 25 cm.
Mas isto é falso. Nosso resto ficou tão grandão que lá cabe mais uma régua. Na verdade, o certo seria:
Conseguimos emparelhar 4 réguas pequenas, por isso 25 por 6 dá 4. E o resto é pequeno, de tal modo que lá não cabe mais uma régua sequer. Lá não cabe mais um pedaço com 6 cm. O resto é menor que o divisor.
2) Os restos parciais também são menores que o divisor.
Quando dividimos 85 por 4, nós iniciamos fazendo a divisão de 8 por 4. Ou seja, fizemos uma divisão por partes: iniciamos só com a dezena, depois partimos para a unidade.
A cada parte, obtemos um "resto parcial". Exemplificando, no início da divisão tivemos:
\begin{array} {rc} 85 & | \underline{\, \, \, \, 4 \, \, \, \, \, } \\ 8 \phantom{5} & 2 \end{array}
Logo depois de dividir 8 por 4, tivemos resto 0.
Não é o resto final ainda, porque a divisão não terminou. Sabemos que não terminou porque ainda temos o 5 para descer.
Por isto estou chamando de "resto parcial".
Pelo mesmo motivo que vimos acima, este resto parcial também deve ser menor que o divisor. Do contrário, erramos a conta.
3) Sempre que a gente descer um número, temos que fazer a divisão, ainda que o resultado dê zero.
Exemplo:
\begin{array} {rc} 9056 & | \underline{\, \, \, \, 9 \, \, \, \, \, } \ \end{array}
Iniciamos dividindo 9 por 9. O quociente é 1 e o resto é 0:
\begin{array} {rc} 9056 & | \underline{\, \, \, \, 9 \, \, \, \, \, } \\ \underline{9 \phantom{056}} & 1 \\ 0 \phantom{056} & \, \end{array}
Agora "descemos" o 0.
\begin{array} {rc} 9056 & | \underline{\, \, \, \, 9 \, \, \, \, \, } \\ \underline{9 \phantom{056}} & 1 \\ 00 \phantom{56} & \, \end{array}
Nesse instante, temos 00 dividido por 9.
Como 0 é menor que 9, "não dá para dividir". Nesse instante, alguns alunos ficam tentados em descer o próximo número, no caso, descer o 5.
ISSO ESTÁ ERRADO!
Se acabamos de descer um número, temos necessariamente que fazer a divisão. Sempre!
00 dá sim para dividir por 9. 0 dividido por 9 dá 0. Estamos dizendo que o 9 cabe zero vezes dentro de 0. Ou seja, 9 não cabe dentro de 0.
\begin{array} {rc} 9056 & | \underline{\, \, \, \, 9 \, \, \, \, \, } \\ \underline{9 \phantom{056}} & 10 \\ 00\phantom{56} & \, \\ \underline {00 \phantom{56}} & \, \\ 00 \phantom{56} & \, \end{array}
Agora sim, fizemos a divisão, conseguimos nosso resto "parcial", e podemos descer o próximo número:
\begin{array} {rc} 9056 & | \underline{\, \, \, \, 9 \, \, \, \, \, } \\ \underline{9 \phantom{056}} & 10 \\ 00 \phantom{56} & \, \\ \underline {00 \phantom{56}} & \, \\ 005 \phantom{6} & \, \end{array}
Acabamos de descer o 5. Então temos necessariamente que dividir.
9 não cabe dentro de 5. Logo, 5 dividido por 9 dá 0.
\begin{array} {rc} 9056 & | \underline{\, \, \, \, 9 \, \, \, \, \, } \\ \underline{9 \phantom{056}} & 100 \\ 00 \phantom{56} & \, \\ \underline {00 \phantom{56}} & \, \\ 005 \phantom{6} & \, \\ \underline{000 \phantom{6}} & \, \\ 005 \phantom{6} & \, \end{array}
Agora sim, fizemos a divisão, conseguimos nosso resto parcial, podemos descer o próximo:
\begin{array} {rc} 9056 & | \underline{\, \, \, \, 9 \, \, \, \, \, } \\ \underline{9 \phantom{056}} & 100 \\ 00 \phantom{56} & \, \\ \underline {00 \phantom{56}} & \, \\ 005 \phantom{6} & \, \\ \underline{000 \phantom{6}} & \, \\ 005 6 & \, \end{array}
56 por 9 dá 6:
\begin{array} {rc} 9056 & | \underline{\, \, \, \, 9 \, \, \, \, \, } \\ \underline{9 \phantom{056}} & 1006 \\ 00 \phantom{56} & \, \\ \underline {00 \phantom{56}} & \, \\ 005 \phantom{6} & \, \\ \underline{000 \phantom{6}} & \, \\ 005 6 & \, \\ \underline {0054} & \, \\ 0002 & \, \end{array}
Não há mais dígitos para "descer". A divisão acabou.
Quociente: 1006
Resto: 2
(Fundação Carlos Chagas)
Os números naturais são colocados em um quadro, organizados como se mostra abaixo:
O número 2008 está na coluna:
a) F.
b) B.
c) C.
d) I.
e) A.
Resolução:
Em cada coluna, os números estão separados de 9 em 9. Isso faz com que os restos da divisão por 9 sejam sempre os mesmos em cada coluna.
Observe que, na coluna "A", os restos da divisão por 9 são sempre iguais a 1.
Exemplo: 10 dividido por 9: quociente = 1; resto = 1.
Na coluna "B", os restos da divisão por 9 são iguais a zero.
Na coluna "C", os restos são iguais a 2.
Na coluna "D", os restos são iguais a 8. Na coluna "E" os restos são iguais a 3.
Na coluna "F" os restos são iguais a 7.
Na coluna "G" os restos são iguais a 4.
Na coluna "H" os restos são iguais a 6.
Na coluna "I" os restos são iguais a 5.
Dito isso, vamos analisar o número 2008.
2008 dividido por 9 dá resto 1. Logo, 2008 está na coluna "A"
Resposta: E
As questões de prova sobre divisão adoram explorar o "resto". A melhor coisa a fazermos é irmos direto para os exercícios, vendo como isso costuma ser cobrado.
(Fundação Carlos Chagas)
No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia 1º de janeiro cairá numa segunda-feira será
a) 2013
b) 2014
c) 2016
d) 2018
e) 2019
Resolução
Vejam como toda a resolução da questão envolve o resto da divisão.
Uma semana tem 7 dias. Um ano regular tem 365 dias.
Pergunta: quantas semanas há em um ano?
Ou ainda: quantos conjuntinhos de 7 dias podemos formar no universo de 365?
Basta dividir:
365 / 7 = 52 (e resta 1)
Ou seja, 1 ano tem 52 semanas mais um dia.
Este "resto", ou seja, este dia a mais, é extremamente importante. Vamos tentar entendê-lo.
Considere que, em um dado ano, o dia 1/1 caia em um domingo.
Passam os primeiros 7 dias do ano. Se o primeiro dia do ano foi um domingo, o sétimo dia será um sábado. Neste sábado está terminando a primeira semana do ano, completando 7 dias.
Tudo certo até aqui?
Então vamos continuar.
Passam mais 7 dias. Estamos no segundo sábado do ano, que encerra a segunda semana do ano. Já completamos 14 dias do ano.
E assim por diante.
Se o ano tivesse exatamente 52 semanas, então teríamos o seguinte.
Ao final da 52ª semana, teríamos o 52º sábado do ano, que corresponderia ao dia 364.
Confere?
Muito bem. O problema é que, na verdade, o ano tem 365 dias.
Com isso, além do sábado que encerra a 52ª semana, temos mais um dia. Temos um domingo. Portanto, dia 31/12 será domingo.
O efeito disso é que o ano seguinte começará em uma segunda-feira.
Resumo:
- no primeiro ano, dia 1/1 foi domingo.
- no segundo ano, dia 1/1 foi segunda.
Observem que, para a mesma data (1/1), houve variação do dia da semana (era domingo, virou segunda). Ou seja, avançamos 1 dia na semana.
E por que é que avançamos 1 dia na semana?
Por conta do resto 1. Graças ao resto 1 isso ocorreu.
Você já deve ter notado isso. Se em um dado ano seu aniversário cai em uma quarta-feira, no ano seguinte ele cairá na quinta.
No caso de anos bissextos é bem parecido. A única diferença é que, como o ano tem 366 dias, então o resto da divisão por 7 será igual a 2. Logo, avançaremos dois dias na semana.
Exemplo:
- dia 15/3/2007 foi quinta-feira.
- dia 15/3/2008 foi sábado
Avançamos dois dias na semana (quinta ---> sexta ---> sábado), pois 2008 é bissexto. Ou seja, entre as duas datas indicadas não temos 365 dias. Temos, na verdade, 366 dias, por conta do dia 29/2/2008.
Visto o comportamento das datas ao longo dos anos, podemos atacar a questão.
2010 tem 53 sextas-feiras.
Já vimos que, em um dado ano, temos 52 semanas inteiras. Portanto, são 52 domingos, 52 sábados e assim por diante.
Além disso, temos o dia 31/12, que completa os 365 dias.
Só podemos concluir que 31/12/2010 é uma sexta-feira, fazendo com que tenhamos as 53 sextas-feiras informadas no enunciado.
Disto resulta que 1/1/2011 é sábado.
Sabendo disso, podemos ir determinando os dias da semana para os próximos dias 1/1. Só temos que ter cuidado para separar os anos bissextos dos anos regulares.
O exercício disse que são bissextos os divisíveis por 4 (2012, 2016, 2020, etc).
Vejamos:
- 1/1/2012 é domingo (basta avançar 1 dia na semana)
- 1/1/2013 é terça (avançamos 2 dias na semana; lembrem-se de que 2012 é bissexto, ou seja, entre 1/1/12 e 1/1/13 temos o dia 29/2/12)
- 1/1/2014 é quarta (avançamos 1 dia na semana)
- 1/1/2015 é quinta (avançamos 1 dia na semana)
- 1/1/2016 é sexta (avançamos 1 dia na semana)
- 1/1/2017 é domingo (avançamos 2 dias, pois 2016 é bissexto)
- 1/1/2018 é segunda (avançamos 1 dia).
Pronto. Descobrimos o ano em que 1/1 é uma segunda feira. Trata-se de 2018.
Resposta: D
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