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Números Naturais é um conteúdo de Matemática cobrado em grande parte dos concursos públicos no Brasil. Pensando nisso, o professor Vítor Menezes preparou um material explicativo para intensificar seus estudos.
Não esqueça de praticar o que aprendeu com questões inéditas sobre o tema, combinado?
Os números naturais são aqueles que utilizamos para contar as coisas:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...
O conjunto formado por todos os números naturais é representado por: \mathbb{N}
\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}
O conjunto dos números naturais apresenta uma série de propriedades:
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Propriedade |
Caso geral |
Exemplo |
Comentários |
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associativa da adição |
(a+b)+c=(a+(b+c) |
(2+3)+4=2+(3+4) |
A forma como agrupamos as parcelas não altera o resultado. |
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comutativa da adição |
a+b=b+a |
2+3=3+2 |
A ordem das parcelas não altera o resultado |
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elemento neutro da adição |
a+0=a |
3+0=3 |
Adicionar 0 não altera o resultado |
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associativa da multiplicação |
a \times (b \times c)=(a \times b) \times c |
2 \times (3 \times 4)=(2 \times 3) \times 4 |
A forma como agrupamos os fatores não altera o resultado. |
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comutativa da multiplicação |
a \times b= b \times a |
2\times 3 = 3 \times 2 |
A ordem dos fatores não altera o produto |
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elemento neutro da multiplicação |
a \times 1=a |
2 \times 1=2 |
Multiplicar um número por 1 não altera o resultado |
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distributiva da multiplicação em relação à adição |
a \times (b+c)=ab+ac |
2 \times (3+4)=2 \times 3+2 \times 4 |
--- |
Todas as propriedades acima valem para quaisquer a, \, b, \, c pertencentes aos naturais.
Se colocarmos o sinal de negativo na frente de um número natural, obtemos o seu oposto. Ou seja, -1 é oposto de 1. -2 é oposto de 2. -3 é oposto de 3. E assim por diante.
B = {3, 4, 5, 6}
Como fizemos para representar este conjunto? Simplesmente colocamos, entre chaves, todos os elementos do conjunto. Ou seja, listamos todos os elementos.
Pois bem, há uma outra forma de representação de conjuntos que é muito útil. Muitas vezes, os conjuntos abrigam elementos que possuem uma dada característica em comum.
Nestes casos, podemos representar o conjunto apenas indicando que característica é essa. Com este pensamento, o conjunto B pode ser reescrito assim:
B=\{x | x \in \mathbb N; 2 < x < 7 \}
O que significam estes símbolos? Significa o seguinte.
B é formado por vários elementos, a que estamos chamando de ‘x’. Isto corresponde à parte sublinhada:
\underline{B=\{ x } | x \in \mathbb N; 2 < x < 7 \}
Na sequência, temos uma barra vertical. Ela simboliza a expressão “tal que”.
Depois, indicamos que esses elementos ‘x’ têm uma característica especial: eles pertencem ao conjunto dos números naturais.
B=\{x | \underline{x \in \mathbb N}; 2 < x < 7 \}
Então temos que B é formado por todos os elementos ‘x’ que são números naturais. Esta é a característica em comum dos elementos do conjunto B. Todos eles são números naturais.
Ok, só que os elementos x ainda têm outra característica em comum. Além de serem números naturais, eles também são maiores que 2 e menores que 7.
B=\{x | {x \in \mathbb N}; \underline{2 < x < 7} \}
Reescrevendo tudo: o conjunto B é formado por todos os elementos x que têm algumas características em comum: são números naturais, maiores que 2 e menores que 7.
Quais números são naturais, maiores que 2 e menores que 7? Ora, são os números 3, 4, 5, 6. Assim, escrever:
B=\{x | {x \in \mathbb N}; {2 < x < 7} \}
É o mesmo que escrever:
B = {3, 4, 5, 6}
Qual a grande vantagem desta representação que indica a característica dos elementos do conjunto? É que, se o conjunto for muito grande, talvez fique mais fácil apenas indicar a característica em comum de seus elementos.
Imagine que quiséssemos indicar o conjunto de todos os números pares maiores que 1 e menores que 199.896.903. Seria um baita de um conjunto enorme. É bem mais fácil escrever:
A=\{x |x \mbox{ é par}; 1 < x < 199.896.903\}
Exemplo:
Liste todos os elementos dos conjuntos abaixo.
a) A = {x| x é par; 17 < x < 26 }
b) B = {x| x é primo; 10 < x < 30 }
Resolução:
a) A é o conjunto formado por todos os números pares maiores que 17 e menores que 26.
A = \{18, \ 20, \ 22, \ 24\}
b) B é o conjunto formado por todos os números primos maiores que 10 e menores que 30.
B = \{11, \, 13, \, 17, \, 19, \, 23, \, 29\}
Exemplo:
Reescreva os conjuntos a seguir, indicando a característica que eles têm em comum.
a) A = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30}
b) B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
Resolução:
a) O conjunto A é formado por todos os múltiplos de 5 entre zero e 30.
A = \{ x| 0 \le x \le 30; \, x \, \mathrm{\acute{e} \, m \acute{u}ltiplo \, de \, 5} \}
b) O conjunto B é formado por todos os quadrados perfeitos menores ou iguais a 81.
B = \{ x| x \, \mathrm{\acute{e} \, quadrado \, perfeito \, } ; x \le 81 \}
Outra forma de representação seria:
B = \{ x^2 | x \in \mathbb N ; 0 \le x \le 9 \}
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