Quer acelerar seus resultados, estudando com questões de Matemática, números inteiros, de uma forma diferente, mas com eficácia comprovada?
Nas próximas linhas você terá acesso a um conteúdo exclusivo do Tec Concursos. Bons estudos!
Números inteiros é um conteúdo de Matemática cobrado em grande parte dos concursos públicos no Brasil. Pensando nisso, o professor Vítor Menezes preparou um material explicativo para intensificar seus estudos.
Não esqueça de praticar o que aprendeu com questões inéditas sobre o tema, combinado?
Em aula anterior nós já aprendemos que os números naturais são aqueles usados para a contagem:
\mathbb {N} = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, \cdots \}
Se acrescentarmos ao conjunto acima os opostos de cada elemento, obtemos os números inteiros, representados por: \mathbb{Z}
\mathbb{Z} = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O conjunto dos naturais está estritamente contido no conjunto dos inteiros:
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}
Dentro dos inteiros, a questão pode trazer alguns conjuntos especiais. São eles:
|
Símbolo |
Conjunto |
Comentários |
|
Z* |
{..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} |
Conjunto dos números inteiros não nulos |
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Z_+ |
{0, 1, 2, 3, ...} |
Conjunto dos inteiros não negativos |
|
Z_- |
{..., -3, -2, -1, 0} |
Conjunto dos inteiros não positivos |
|
Z_-^* |
{..., -3, -2, -1} |
Conjunto dos inteiros negativos |
|
Z_+^* |
{1, 2, 3, ...} |
Conjunto dos inteiros positivos |
O conjunto dos inteiros apresenta as mesmas propriedades já estudadas para os naturais (associativa, comutativa e elemento neutro, tanto para adição quanto multiplicação, além da distributiva da multiplicação em relação à adição). Apresenta ainda a propriedade do oposto, ou seja, para todo a inteiro, existe -a, tal que:
a+(-a)=0
A soma de um número com seu oposto dá 0. Exemplificando, o oposto de 3 é -3.
Módulo indica a distância até a origem. Suponha uma rodovia "especial", com origem no km 0. Para valores à direita de 0, a quilometragem assume sinal positivo. Para valores à esquerda, negativos.
Acima exemplificamos as quilometragens -3 e +3.
Qual a distância do km 3 até a origem? A distância é de 3 quilômetros, concorda? Portanto o módulo de 3 vale 3.
Módulo de 3 = 3
Representamos o módulo por duas barras verticais:
|3|=3
E qual a distância do km -3 até a origem?
Também é uma distância de 3 quilômetros. Então o módulo de -3 também vale 3.
|-3| = 3
Assim, no fundo, o módulo transforma os números em positivos. Se o valor original já é positivo, o módulo o mantém. Se o número original é negativo, o módulo o transforma em positivo.
Mais exemplos:
|-8| = 8
|56| = 56
|-1.560| = 1.560
Por fim, o módulo de 0 é o próprio 0. Pois a distância da origem para si mesma é uma distância nula (já que não saímos do lugar).
|0| = 0
Operações com números inteiros
1) Adição e subtração
Primeiro caso: valores de mesmo sinal.
Basta somar e manter o sinal. Assim:
2 + 5 = 7
-2-5 = -7
Na segunda linha, primeiro fazemos 2+5=7. E depois mantemos o sinal negativo que estava presente nas duas parcelas.
Segundo caso: valores de sinais opostos.
Basta subtrair e manter o sinal o sinal do termo de maior módulo.
Exemplo:
6-4
Temos um termo positivo (6), um negativo (-4). Então subtraímos (6-4=2) e mantemos o sinal do termo de maior módulo
Outro exemplo:
-8+2 = -6
Primeiro fazemos a subtração (8-2=6). Depois mantemos o sinal negativo, que é o sinal do termo de maior módulo (o maior módulo é do termo -8).
Terceiro caso: uso de parênteses.
Exemplo:
2 + (-1)=?
E agora temos que lembrar das seguintes regras:
Vejam:
No nosso caso, temos +(-1). É o caso "mais com menos". Isso dá menos.
2 + (-1)
2 - 1
=1
Outro exemplo:
-2-(-7)
Menos com menos dá mais:
=2+7
=9
2) Multiplicação e divisão
Basta multiplicar ou dividir os valores. Em seguida:
Exemplo:
2 \times (-3) = -6
(-5) \times (-2) = +10
{15 \over 5} = 3
{-15 \over 5} = -3
{-15 \over -5} = 3
#2131785 VUNESP - Engenheiro Clínico (Pref Campinas)/2022
Um grupo de 9 remadores estão todos em um mesmo barco. Para um treino, esses remadores se revezaram de maneira que, a qualquer momento, sempre tinham exatamente 6 pessoas remando. Esse barco percorreu um total de 33 km e cada pessoa no barco remou a mesma distância em quilômetros. A distância que cada pessoa no barco remou nesse treino foi
A) 22 km.
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