Quer acelerar seus resultados, estudando com questões de Matemática, números primos MMC e MDC, de uma forma diferente, mas com eficácia comprovada?
Nas próximas linhas você terá acesso a um conteúdo exclusivo do Tec Concursos. Bons estudos!
Números primos, MMC e MDC são conteúdos de Matemática cobrados em grande parte dos concursos públicos no Brasil. Pensando nisso, o professor Vítor Menezes preparou um material explicativo para intensificar seus estudos.
Não esqueça de praticar o que aprendeu com questões inéditas sobre o tema, combinado?
Para estudar os números primos, primeiro você tem que saber o que é um divisor. Para tanto, observe o cálculo abaixo:
\begin{array} {rc} 16 & | \underline {~~~~2~~~~} \\ 0 & ~~~~8~~~~ \end{array}
Acima indicamos que, na divisão de 16 por 2, o quociente é igual a 8 e o resto é igual a 0.
O fato do resto ser nulo nos diz que estamos diante de uma divisão "exata". Por esse motivo nós dizemos que 2 é um divisor de 16.
Outros divisores de 16 são: 1, 2, 4, 8, 16. Todos eles obedecem à mesma propriedade que vimos acima. Ou seja:
Agora vejamos os divisores de 15:
1, 3, 5, 15
Agora os divisores de 14:
1, 2, 7, 14
Seguem os divisores de 13:
1, 13
Olha que interessante. O número 1 é sempre divisor dos demais números inteiros. Ele aparece em qualquer lista de divisores que você fizer.
Além disso, um número “n” qualquer será sempre divisor de si mesmo. Veja que 16 é divisor de 16. 15 é divisor do próprio 15. O 14 é divisor de 14. O número 13 é divisor do próprio 13. E assim por diante.
Por sinal, no caso do 13, seus únicos divisores são esses que vimos acima: o “1” e o próprio número. Quando isso ocorre, estamos diante de um número primo.
Número primo: é aquele que só é divisível por 1 e por ele mesmo.
Observação: o próprio número 1 não é considerado primo
São exemplos de números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
Observem que o único primo que é par é o 2. Todos os demais são ímpares.
Qualquer número inteiro pode ser decomposto em fatores primos. Como exemplo, vamos trabalhar com o número 252.
252 é um número par. Logo, é divisível por 2:
252 \div 2 = 126
Portanto:
252=126 \times 2
126 é par, também pode ser dividido por 2. Vejam:
126 \div 2 = 63.
Logo:
126=63 \times 2
Podemos substituir isso na igualdade acima:
252=126 \times 2 = 63 \times 2 \times 2
O número 63 é múltiplo de 3. Podemos substituir 63 por 21 \times 3:
252=21 \times 3 \times 2 \times 2
O número 21 pode ser substituído por 3 \times 7
252 = 7 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2
Pronto! Notem que expressamos 252 como um produto de diversos fatores. E todos esses fatores são números primos.
Qualquer número inteiro pode ser expresso como um produto entre fatores primos. Outro exemplo:
18 = 2 \times 3 \times 3
Só não conseguimos fazer a decomposição se o número em questão for primo. Vejam:
13 = 13 \times 1
Bom, até decompomos, mas não foi uma decomposição “para valer”, né? Afinal, basicamente escrevemos que 13 = 13, isso não é lá muita coisa. E outro detalhe: um dos fatores foi “1”, que não é considerado primo.
(Esaf)
Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos completados, é igual:
a) à idade de Júlia mais 7 anos.
b) ao triplo da idade de Júlia.
c) à idade de Júlia mais 5 anos.
d) ao dobro da idade de Júlia.
e) à idade de Júlia mais 11 anos.
Resolução:
Sejam a e j as idades de Ana e Júlia. Como a e j são idades, em anos completos, então a e j são números naturais.
Sabemos que o produto a \times j é um número primo.
Mas o que é mesmo um número primo? É um número que só é divisível por 1 e por ele mesmo.
Assim, 17 é primo, pois 17 só é divisível por 1 e por 17.
Desta forma, um número primo só pode ser expresso na forma a \times j se esses dois números (a e j) forem iguais a 1 e ao próprio número primo.
Assim, já descobrimos a idade de Júlia. Como Júlia é a mais nova, então:
j=1
Bom, já descobrimos a idade de Júlia.
A idade de Ana, esta ainda não sabemos. Só sabemos que é um número primo, o que faz com que a \times j também seja primo.
Vamos para a segunda informação do enunciado. O exercício disse que a soma das idades é um número primo.
Vamos escrever os primeiros números primos:
Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, ...
Esses números acima seriam possíveis candidatos à idade de Ana.
Vamos testar?
Se Ana tiver 2 anos, então temos:
a+j=2+1=3
Somando as idades das duas temos 3, que também é um número primo. Deu certinho.
E se Ana tiver 3 anos? Aí ficaríamos com:
a+j=3+1=4
Obtivemos 4, que não é primo. Não deu certo.
E se Ana tiver 5 anos? Aí temos:
a+j=5+1=6
O resultado foi 6, que não é primo. E podemos continuar testando e testando que nunca mais iremos obter um número primo.
Isto porque os únicos dois números primos que estão em sequência são o 2 e o 3. São dois números primos cuja diferença é 1. Não há mais nenhum par de números primos tão próximos assim. Os números primos vão ficando cada vez mais raros, à medida que eles aumentam.
Logo, o único número primo que, somado a 1, resulta em outro primo é o 2.
Logo:
a=2
Pronto. Descobrimos as duas idades (de Ana e Júlia). Assim, podemos ver que a alternativa correta é a D, pois o número 2 (idade de Ana) é o dobro de 1 (idade de Júlia)
Gabarito: D
Veja o exemplo:
24 dividido por 8 = 3 e resta 0
Como a divisão deu exata, afirmamos que:
Vamos agora listar os divisores de 16 e de 24.
Divisores de 16: 1, 2, 4, 8,16
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Observem que os valores 1, 2, 4 e 8 são divisores comuns nos dois casos. Ou seja, todos eles são divisores comuns de 16 e de 24.
Entre os divisores comuns, o maior de todos é o 8. Dizemos que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 16 e 24.
MDC (16, 24) = 8
Uma forma de calcular o MDC é aquela que vimos acima: listamos todos os divisores de 16, listamos todos os divisores de 24, e vemos qual é o maior divisor comum nos dois casos.
Outra forma é a seguinte.
Decompomos cada número em fatores primos, assim:
16=2^4
24=3 \times 2^3
Agora tomamos os fatores comuns nos dois casos, usando o menor expoente.
O fator 3 não é comum nos dois casos, então ele não será usado.
O fator 2 é comum nos dois casos. Então ele será usado com o menor expoente (no caso, expoente 3).
Nossa resposta fica:
2^3=8
Outro exemplo. Calcular o MDC entre 2.625 e 1.350.
Fatorando:
2.625=3 \times 5^3 \times 7
1.350=2 \times 3^3 \times 5^2
Analisando cada fator:
Então o MDC fica:
3^1 \times 5^2=75
Na verdade, podemos dizer que o MDC é composto pelos fatores que aparecem nos dois números, sempre com o menor expoente.
Basta fazermos:
2.625=2^0 \times 3 \times 5^3 \times 7
1.350=2 \times 3^3 \times 5^2 \times 7^0
Vejam que o menor expoente do fator 2 é 0. Logo, tomamos 2 0 = 1. Por isso o 2 não aparece no resultado final. Idem para 7 0.
Mudemos de exemplo. Passamos agora a listar os múltiplos de 6 e de 8.
Observem que os múltiplos 24 e 48 aparecem nos dois casos. São múltiplos comuns.
Se continuássemos a lista, teríamos vários outros múltiplos comuns, como 72, 96, etc.
O menor dos múltiplos em comum é o 24. Dizemos que 24 é o menor múltiplo comum(mmc) entre 6 e 8.
mmc(6, 8) = 24
Uma forma de calcular o mmc é listar os múltiplos de 6, listar os múltiplos de 8, até acharmos o primeiro múltiplo comum (que será o menor deles).
Outra forma é decompor os números em fatores primos, assim:
6=2 \times 3
8=2^3
Agora tomamos os fatores, sempre considerando o maior expoente.
O mmc é composto pelos fatores acima, sempre tomando o maior expoente. Resultado:
mmc=2^3 \times 3=24
Outro exemplo. Calcular o mmc entre 2.625 e 1.350.
Fatorando:
2.625=3 \times 5^3 \times 7
1.350=2 \times 3^3 \times 5^2
Análise dos fatores:
Resultado:
2^1 \times 3^3 \times 5^3 \times 7^1
mmc=47.250
Fechando o tópico, interessante notar que, dados dois números "a" e "b", temos:
mmc \times MDC = a \times b
O produto entre os dois números é igual ao produto entre MMC e MDC.
Exemplo:
MMC (8, 6) = 24
MDC (8,6) = 2
Notem que:
mmc \times MDC = 8 \times 6
24 \times 2 = 8 \times 6
48=48
#1938005 VUNESP - Guarda Civil Municipal (Osasco)/2022
No auditório de uma empresa, estão reunidos menos de 80 funcionários, que serão divididos em grupos, de modo que cada grupo fique com o mesmo número de funcionários e que nenhum funcionário fique fora dos grupos. Nessas condições, é possível formar grupos com 4 funcionários em cada um deles, ou com 5 funcionários em cada um, ou com 6 funcionários em cada um. O número de funcionários presentes nesse auditório é:
A) 70
B) 65
C) 60
D) 55
E) 50
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