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Matemática financeira é uma disciplina cobrada em muitos concursos públicos no Brasil. Pensando nisso, o professor Vítor Menezes preparou um material explicativo para intensificar seus estudos.
Não esqueça de praticar o que aprendeu com questões inéditas sobre o tema, combinado?
Imagine que João possui mil reais no banco, na sua conta corrente bancária. O dinheiro está parado na conta corrente, ou seja, não rende nada. Então o João decide investir esse dinheiro num CDB. Como é que funciona o CDB?
Num CDB, você empresta o seu dinheiro para o banco. O banco vai usar esse dinheiro por um tempo, e depois, quando você resgatar, obterá mais do que a quantia inicialmente investida. Então vamos supor que após um ano João resgata 1.100 reais.
Vou representar isso numa linha do tempo
Essa representação esquemática, na forma de linha do tempo, a gente chama de diagrama de fluxo de caixa. Então o que é um diagrama de fluxo de caixa? É uma representação esquemática dos pagamentos e recebimentos ao longo do tempo.
Na linha do tempo, chamei a data inicial de X0. Nesta data, João desembolsa mil reais, e o desembolso será representado com a seta para baixo. E passado um ano estamos na data X1. O João receberá 1.100. Como agora se trata de um ingresso de dinheiro, vamos representar com seta para cima.
Pronto, isso é o diagrama de fluxo de caixa — um esquema das entradas e saídas de dinheiro. Neste diagrama, estipulamos representar as saídas com seta para baixo e as entradas com seta para cima.
Na operação acima, João permitiu que o banco utilizasse seu dinheiro por algum tempo. Em troca, o banco paga uma remuneração. Tal remuneração corresponde à diferença entre os 1.000 que João depositou e os 1100 que ele sacou.
1.100 - 1.000 = 100
Essa diferença de 100 reais é a remuneração que o banco pagou.
É uma espécie de aluguel pelo uso do dinheiro. O banco está usando o dinheiro de João por determinado tempo. Em troca ele paga um aluguel, que no nosso caso foi de 100 reais. É muito parecido com o aluguel de um imóvel.
Se você mora de aluguel, então você está usando o imóvel de outra pessoa. Pode ser a casa de outra pessoa, o apartamento de outra pessoa. De mês em mês, você paga um aluguel, uma remuneração por estar usando o ativo de outra pessoa.
Aqui é a mesma coisa: o banco está usando um ativo de João, e por isso lhe paga um “aluguel”, ao qual chamamos de juros.
Juros são a remuneração paga pelo uso do dinheiro de um terceiro. Geralmente essa expressão “dinheiro de terceiros” aparece nos livros com o nome de capital. O símbolo para os juros é a letra J.
Juros: J
No exemplo acima, os juros foram de R$ 100,00.
J = 100
Então com isso já vimos um primeiro tópico, ou seja, vimos que o juro é a remuneração paga pelo uso do capital de terceiros. Vimos ainda que o valor que está lá no começo da linha do tempo, os 1.000,00, são chamados de capital (símbolo: C).
C = 1.000
Lembrando, capital é o ativo que o banco vai usar, é o dinheiro que está sendo emprestado. Pode também ser chamada de capital inicial ou valor investido. Foi o valor que João investiu. Também chamado de valor aplicado, ou de “principal”. Então são vários sinônimos:
Como são vários nomes, para que você não se confunda, por enquanto decore só o primeiro — capital inicial.
Decore este, que é o nome mais tradicional, e deixe que, com o passar do tempo, à medida em que for fazendo várias questões, você naturalmente vá se deparando com estes outros nomes, e vá naturalmente e progressivamente se acostumando com eles. Voltemos ao nosso diagrama.
O valor lá da frente, o valor lá do futuro, a gente chama de montante. São esses R$ 1.100,00 que João resgata no final. Outro nome possível: valor futuro, pois se trata do valor que está lá no futuro da linha do tempo. O símbolo do montante é “M”.
Montante: M
Já aprendemos que o capital inicial (C) é o valor do começo, que o montante (M) é o valor do final, e que os juros (J) são a diferença entre ambos. Matematicamente:
J=M-C
Essa fórmula aqui vale sempre. Tanto faz se a gente está no regime de juros simples ou de juros compostos. Esses regimes serão estudados depois, com calma.
A palavra taxa nos indica uma relação entre duas grandezas. Eu quero comparar duas grandezas, quero relacioná-las. Em matemática, relação é sinônimo de divisão.
Por exemplo: Pedro tem renda de 10 mil reais. Gustavo tem renda de 5 mil reais. Então se eu fizer uma relação entre as duas grandezas, qual seria?
A relação é de 10 para 5 ou de 2 para 1.
\frac{10.000}{5.000} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}
O que significa isso? Significa que a renda de Pedro é duas vezes a renda de Gustavo. Ou para cada real que Gustavo ganha, Pedro ganha 2 reais. Então a relação é a comparação entre duas grandezas, fruto da divisão entre elas.
Portanto, vimos que a taxa é uma relação entre duas grandezas.
No caso de “taxa de juros”, quais seriam as duas grandezas a relacionar?
Uma delas já está dita no próprio nome: se a taxa é de “juros” é porque uma das grandezas será justamente os juros (J). Vamos comparar os juros com alguma outra grandeza. E com quem comparamos os juros? Comparamo-los ao capital inicial, ao valor investido (C).
Quero determinar quanto ganhei de juros para cada real investido. É isso o que me dá a taxa de juros: quanto rendeu cada real investido. O símbolo da taxa de juros é a letra minúscula “i”.
i = \frac{\mathrm{J}}{C}
No nosso caso, os juros foram de 100 reais e o capital foi de R$ 1.000,00.
i = \frac{100}{1.000} = 0,1 = 10%
A taxa de juros foi de 0,1, ou 10%, dá no mesmo.
A primeira forma, indicada por 0,1, é chamada de taxa unitária. A segunda forma, indicada por 10%, é chamada de taxa percentual. A taxa unitária nos diz que, para cada real aplicado, o João ganhou 10 centavos ou 0,1 reais. Já a taxa percentual nos indica que os juros corresponderam a 10% do capital inicial.
Por fim, é importante saber o prazo a que se refere a taxa. Exatamente: a taxa de juros sempre diz respeito a um determinado prazo. Pois uma coisa é ganhar 10% depois de 30 anos; outra completamente diferente é ganhar 10% depois de 1 mês.
No primeiro caso, ganhamos muito pouco, a inflação provavelmente já foi bem maior que esses 10%. No segundo caso, trata-se de um ganho estratosférico.
No nosso exemplo, o João precisou de um ano para obter esse rendimento. Então a gente diz que a taxa é de 10 por cento ao ano.
i = 0,1 \ \mathrm{ao \ ano},
i = 10\% \ \mathrm{ao \ ano}
Significa que demorou um ano para a gente conseguir esses 10%.
É possível obter taxas mensais, taxas diárias, bimestrais, semestrais, e assim por diante. Cada uma delas tem uma abreviação, assim:
Se na operação de juros tínhamos um avanço ao longo da linha do tempo, ou seja, nos movíamos para frente, para o futuro, agora, na operação de desconto, temos o contrário. Temos um retroceder na linha do tempo. Partimos de valores futuros, e trazemo-los para o presente.
Exemplo.
João é um empresário, que possui um título que vence daqui a um ano. Esse título tem valor de face de 1.000 reais. Em outras palavras, João tem direito a receber 1.000,00, mas não hoje, só daqui a um ano.
Contudo, ele está precisando do dinheiro hoje, agora. Então ele vai ao banco e desconta aquele título desconta o título. Ou seja, o banco vai antecipar o valor para João. O mecanismo é este:
Montando o diagrama de fluxo de caixa.
Daqui a 1 ano, na data X1, João irá quitar os 1.000,00 de dívida. Portanto, preenchemos com seta para baixo, representando o desembolso de João. Na data de hoje, X0, o banco irá antecipar o valor para João.
Vocês acham que o banco vai antecipar exatamente a quantia de 1.000,00?
Claro que não! O banco jamais faria isso. Não teria qualquer sentido ele antecipar 1.000,00 e depois de um ano receber os mesmos 1.000,00, pois assim não ganharia nada com isso. Então, na data de hoje, o banco antecipa um valor menor, por exemplo, R$ 900,00. Completando o diagrama:
Nota: estou fazendo o diagrama de fluxo de caixa sob a ótica do João. Como em X0 ele recebe a quantia de 900,00, coloquei a seta correspondente para cima, em azul, indicando ingresso de dinheiro.
Observem que a quantia de 1.000,00 é referida a X1. Dizemos que é sua data base. É uma data futura, lá na frente.
R$ 1.000,00 \rightarrow refere-se a uma data futura (X1)
Quando queremos antecipar tal valor, trazendo-o para uma data base presente (X0), estou voltando na linha do tempo, estou retroagindo. Toda vez que um capital retroage, ele diminui de valor. No nosso exemplo, ele cai para R$ 900,00.
Então vamos ver alguns nomes.
Valor nominal: é a quantia lá do futuro, no nosso caso, os R$ 1.000,00. Usamos o termo “nominal” porque é o valor que está registrado, que está nomeado, que consta por escrito do documento, seja ele um título ou um contrato. O símbolo é “N”, de “nominal”.
N = 1.000,00
Pode também ser chamado de valor de face.
Valor atual ou valor presente: é o valor do presente, no nosso caso, os R$ 900,00. Ambos os nomes se referem à sua data base. Também pode ser chamado de “valor descontado”, agora fazendo referência ao fato de que pegamos um valor cheio — 1.000,00 — e descontamos, reduzimos, chegando aos 900,00.
Obs.: eu sei que são muitos termos, muitos sinônimos. Por enquanto, grave apenas o primeiro termo apresentado para cada grandeza. Com o passar do tempo você vai se acostumando naturalmente com os sinônimos).
O símbolo que vamos empregar é “A”, de atual.
A = 900,00
Desconto (D): é a diferença entre o valor cheio (1.000) e o valor atual (900).
D=1.000-900=100
No fundo, podemos imaginar o banco dizendo isso a João:
João, você quer usar o meu dinheiro por um ano. Nesse caso, vou te cobrar uma taxa de 100 reais.
Então, assim como os juros eram um rendimento pago pelo uso do capital, o desconto também é a mesma coisa. O desconto também é resultado é fruto da remuneração pelo uso do capital de terceiros.
Em outras palavras, juros e descontos são a mesma coisa vista de ângulos distintos.
Mais uma vez: as operações de juros e de descontos são similares, mudando apenas o ângulo a partir do qual estamos enxergando as coisas.
Faltou a gente falar de taxa de desconto, mas aqui o tema é um pouco mais delicado, vou deixar para outra aula, quando já tivermos estudado outras fórmulas.
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