Quer acelerar seus resultados, estudando com questões de Juros Simples de uma forma diferente, mas com eficácia comprovada?
Nas próximas linhas você terá acesso a um conteúdo exclusivo do Tec Concursos. Bons estudos!
Juros Simples é um conteúdo de Matemática cobrado em grande parte dos concursos públicos no Brasil. Pensando nisso, o professor Vítor Menezes preparou um material explicativo para intensificar seus estudos.
Não esqueça de praticar o que aprendeu com questões inéditas sobre o tema, combinado?
A situação é a seguinte: alguém possui dinheiro hoje, mas não precisa ou não quer usá-lo. Outra pessoa não possui dinheiro agora, mas quer ou precisa usar uma “graninha” no momento atual.
Quem tem o dinheiro hoje pode cedê-lo para a pessoa que precisa. Para tanto, é cobrado um "aluguel". Este aluguel são os juros.
Esta é uma maneira simplificada de entender porque pagamos juros quando pegamos dinheiro emprestado. Estamos pagando uma remuneração para que quem nos emprestou deixe de usar o dinheiro hoje, para poder usá-lo só depois.
Na realidade, os juros são calculados com base em vários fatores. Veja alguns deles:
No primeiro exemplo, João empresta R$ 200,00 para Pedro, cobrando uma taxa de 1% ao mês (juros simples). Qual o valor da dívida, depois de dez meses?
Resolução:
Pronto. Entramos em um dos problemas mais comuns de matemática financeira. A cobrança de juros. Este tipo de problema vai nos acompanhar durante todos os tópicos de matemática financeira. A ideia é sempre a mesma. O que vai dificultando, aos poucos, são os cálculos envolvidos.
A ideia dos juros é remunerar o capital. Pedro precisa do dinheiro hoje, mas não tem este dinheiro. João tem o dinheiro, mas não precisa dele agora. Assim, João empresta o dinheiro para Pedro, mas cobra uma remuneração por isto. Esta remuneração são os juros.
Os juros representam uma receita (ou rendimento) para quem empresta o dinheiro e uma despesa para quem toma emprestado. O valor dos juros depende da taxa. Dizer que é cobrada uma taxa de 1% significa que os juros cobrados são de:
J=1\% \times 200 = 0,01 \times 200=2
Portanto, os juros são iguais a R$ 2,00.
Geralmente usamos a letra "i" para representar a taxa de juros. Deste modo, em nosso exemplo, escrevemos assim
i=0,01 ou i=1\%
Para representar a quantia de dinheiro inicialmente emprestada, usamos a letra C, que é a inicial de capital.
C=200
Para representar os juros, usamos a letra J.
J_1=2
Coloquei J com índice 1 para indicar que estamos falando dos juros do primeiro mês.
Notem que, no cálculo dos juros do primeiro mês, bastou incidir a taxa i sobre o capital C, assim:
J_1=Ci
Tudo certo até aqui? Muito bem, então podemos concluir que, ao final do primeiro mês, a dívida de Pedro já estará em R$ 202.00. Deste valor, temos R$ 200,00 correspondentes ao inicialmente emprestado, mais R$ 2,00 de juros.
Primeiro mês: a dívida está em 200 reais (valor emprestado) + 2 reais de juros = 202 reais
Passa o segundo mês e Pedro continua usando o dinheiro de João. Portanto, terá que pagar novos juros. A taxa permanece em 1%. Como estamos no regime de juros simples, essa taxa de 1% sempre incide sobre o capital inicialmente emprestado, ou seja, sobre os 200 reais.
1 \% \times 200 = 2
Os juros do segundo mês serão, novamente, iguais a R$ 2,00.
J_2=2
Segundo mês: a dívida está em 200 reais (valor emprestado) + 2 reais de juros do primeiro mês + 2 reais de juros do segundo mês = 204 reais
Interessante observar que, neste ponto, o total devido a título de juros é de 4 reais. Esse valor é fruto da soma dos juros do primeiro mês (2) com os juros do segundo mês (2).
J=2+2
E cada um destes 2 reais foi obtido a partir da incidência da taxa sobre o capital.
J=iC+iC=2iC
Passa o terceiro mês. E o Pedro continua com o dinheiro do João. Portanto, vai ter que pagar mais uma remuneração. Novamente teremos uma taxa de 1%. E, como são juros simples, novamente esta taxa incidirá sobre o valor inicialmente emprestado (R$ 200,00). Portanto, os juros do terceiro mês serão novamente de R$ 2,00.
Terceiro mês: a dívida está em 200 reais (valor emprestado) + 2 reais de juros do primeiro mês + 2 reais de juros do segundo mês + 2 reais de juros do terceiro mês = 206 reais
Note que agora o total de juros é de 6 reais. Essa quantia é assim obtida:
J=iC+iC+iC=3iC
Como isso se repete mês a mês, até o décimo mês, já fica fácil concluir que, ao final do décimo mês, o total devido de juros será de 2 reais para cada mês que passou, totalizando 20 reais. Assim:
J=2+2+2+2+2+2+2+2+2+2
J=20
Lembrando que cada uma dessas parcelas de 2 reais corresponde à incidência da taxa "i" sobre o capital "C".
J=iC+iC+iC+ \cdots+iC
Se usarmos a letra "n" para representar o número de períodos, chegamos à fórmula dos juros:
J=n \times i \times C
Fórmula de juros no regime simples:
J=n \times i \times C
"J" são os juros, "n" é o número de períodos, "i" é a taxa e "C" é o capital
Ao final do décimo mês, Pedro terá que devolver os R$ 200,00 iniciais mais R$ 2,00 reais para cada mês que passou.
Assim, Pedro terá que devolver:
200+10 \times 2 = 220
Resposta: depois de dez meses o valor da dívida é de R$ 220,00.
Alguns nomes importantes.
A quantia inicial (=200,00) geralmente recebe um nome importante: capital inicial (C).
A quantia final (=220,00) também recebe um nome importante: montante (M).
Podemos dizer que o montante (M) é igual ao capital (C) mais os juros (J).
M=C+J
Foi exatamente isto que aconteceu no nosso exemplo. O capital foi de 200. Os juros foram de 20. E o montante foi 220.
Esta equação sempre vale, sejam juros simples, sejam compostos. O que vai mudar, conforme as taxas sejam simples ou compostas, é a forma de calcular os juros.
No caso de regime simples, os juros ficam:
J=n \times i \times C
Nesta fórmula temos:
E foi exatamente esta fórmula que usamos no problema acima.
Pedro teve que pagar, de juros, vinte reais. Ou seja, Pedro teve que pagar juros de:
Então esta é a fórmula que temos que saber para juros simples:
J = n \times i \times C
Considerando que M=C+J, podemos obter uma terceira fórmula:
M=C+J
M=C + n \times i \times C
Colocando C em evidência:
M=C \times (1+ni)
Mais alguns comentários sobre todas as parcelas vistas.
O capital é a quantidade de moeda que uma pessoa tem disponível para ceder a outra pessoa. Os problemas podem utilizar outros nomes, de mesmo significado. São eles: principal, valoraplicado, investimento inicial. A pessoa que cede o dinheiro é o investidor. Quem recebe o dinheiro é o tomador.
A remuneração paga pelo “empréstimo” (ou ainda, pela “cessão” do dinheiro) são os juros. Como já dissemos, para o tomador os juros são uma despesa e para o investidor os juros são uma receita.
O montante é o valor total da transação financeira, sendo equivalente à soma dos juros com o capital.
A taxa de juros representa a relação entre o juro e o capital investido. No nosso exemplo, o capital investido foi de R$ 200,00 e os juros mensais eram de R$ 2,00. Vamos fazer a relação entre esses dois valores:
{2 \over 200} = 0,01=1\%
Este valor acima é justamente a taxa de juros. Dizemos que a taxa de juros é de 1% ao mês. Isto porque, a cada mês, serão pagos juros correspondentes a 1% do capital.
No segundo exemplo, um capital no valor de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de 3% ao mês, durante 5 meses. Qual o valor dos juros? Qual o valor do montante?
Resolução:
Aplicação direta da fórmula. Primeiro identificamos os termos:
C=1.000
i=3\%=0,03
n=5
Como temos o capital e precisamos calcular os juros, vamos para a fórmula que relaciona essas duas grandezas:
J=n \times i \times C
J=5 \times 0,03 \times 1.000=150
Calculando o montante:
M=C+J=1.000+150=1.150
No terceiro exemplo, um capital desconhecido foi aplicado a uma taxa de 10% ao mês (juros simples), durante 2 meses, resultando no montante de R$ 2.400,00. Calcule o valor do capital.
Resolução:
Como temos o montante, usamos a fórmula em que ele aparece. Há duas em que isso ocorre:
M=C+J
Essa fórmula não é muito útil, pois nela há duas grandezas desconhecidas (C e J). Vamos optar pela outra fórmula do montante:
M=C \times (1+ni)
Agora sim, a única grandeza desconhecida é o capital. Ficamos com:
2.400=C \times (1+2 \times 0,1)
2.400=C \times 1,2
C={2.400 \over 1,2} = 2.000
O capital é de R$ 2.000,00.
No quarto exemplo, um capital de 3.000,00 é aplicado durante determinado período, a uma taxa de juros simples 3% ao mês, resultando no montante de R$ 3.540,00. Calcule o número de meses da aplicação.
Resolução:
Há duas opções:
1º) partimos direto para:
M=C \times (1+ni)
3.540=3.000 \times (1+n \times 0,03)
3.540=3.000+3.000 \times n \times 0,03
3.540-3.000=90n
n={540 \over 90}
n=6
O prazo de aplicação é 6 meses.
2ª) Primeiro calculamos os juros:
M=C+J
3.540=3.000+J
J=3.540-3.000=540
Agora aplicamos a fórmula dos juros:
J=n \times i \times C
540=n \times 0,03 \times 3.000
540=90n
n={540 \over 90} = 6
No quinto exemplo, um capital de R$ 10.000,00 é aplicado durante 10 meses, a uma taxa desconhecida, resultando no montante de R$ 15.000,00. Calcule o valor da taxa de juros simples mensal.
Resolução:
Há duas opções:
1º) partimos direto para:
M=C \times (1+ni)
15.000=10.000 \times (1+10 \times i)
15.000=10.000+10.000 \times 10 \times i
15.000-10.000=100.000i
i={5.000 \over 100.000} = 0,05
A taxa é de 5% ao mês. Detalhe interessante: como o prazo foi trabalhado em meses, a taxa obtida também é mensal.
2ª) Primeiro calculamos os juros:
M=C+J
15.000=10.000+J
J=15.000-10.000=5.000
Agora aplicamos a fórmula dos juros:
J=n \times i \times C
5.000 = 10 \times i \times 10.000
5.000=100.000 \times i
i={5.000 \over 100.000}=5\%
Nos exemplos acima vimos todas as variações. As questões dão todas as grandezas, a exceção de uma (juro, montante, capital, taxa de juros ou prazo). Nossa tarefa é isolar a grandeza de interesse e fazer o cálculo.
Fechando o tópico, é importante destacar a característica marcante do regime simples. Tal regime é caracterizado pelo fato de, em cada período, a taxa de juros sempre incidir sobre o capital inicial. É isso o que diferencia o regime simples, estudado nesta aula, do regime de juros compostos.
As taxas de juros são referentes a determinado período de tempo. Assim, se temos uma taxa de juros de 2% referente ao período de um mês, temos uma taxa mensal de 2%. Dizemos que se trata de uma taxa mensal ou "ao mês".
Exemplo: capital de 100,00, aplicado a uma taxa de 2% ao mês. Isso significa que, a cada mês, teremos juros de 2% incidindo sobre 100,00.
Essa taxa é representada assim: 2% a.m. A sigla “a.m” significa “ao mês”.
Acima foi apenas um exemplo com a taxa mensal, que é a mais comum em questões de prova. Mas a verdade é que a taxa pode vir expressa em qualquer prazo. Cada um tem uma sigla. Exemplos:
Exemplo:
1% a.m = 1% ao mês
2% a.a. = 2% ao ano
3% a.b = 3% ao bimestre
4% a.t = 4% ao trimestre
5% a.s = 5% ao semestre
As fórmulas aplicáveis ao regime de juros simples são:
M=C+J
J=C \times i \times n
M=C \times (1+ni)
Onde:
De uma forma geral, o conhecimento das fórmulas acima é suficiente para resolver todas as questões de juros simples. O cuidado que se deve ter é com as unidades. As unidades de tempo e da taxa têm que ser coerentes. Assim, se a taxa está ao mês e o prazo está em anos, não podemos sair aplicando a fórmula. Antes, temos que garantir que as unidades estejam condizentes.
Temos sempre duas opções:
A conversão de prazo é sempre feita por regra de três. Já a conversão da taxa depende do regime de juros. No caso do regime de juros simples, também basta a aplicação da regra de três. Veremos este assunto com mais detalhes nos itens seguintes.
No primeiro exemplo, um capital de 1.000,00 foi aplicado durante 6 bimestres a uma taxa de juros de 3% ao trimestre. Calcule o montante obtido.
Resolução:
Vejam que o prazo está em bimestres e a taxa é trimestral. Antes de sair fazendo contas, temos que igualar as unidades.
1ª opção: convertemos a taxa em bimestral. Basta aplicar regra de três:
3% --- 3 meses (=1 trimestre)
x --- 2 meses (=1 bimestre)
Agora multiplicamos cruzado:
3\% \times 2 = 3x
x=2\%
A taxa bimestral é de 2%.
Agora o prazo está em bimestres (6 bimestres) e a taxa está ao bimestre (2% ao bimestre)
Basta aplicar a fórmula:
M=C \times (1+ni)
M=1.000 \times (1+6 \times 0,02)
M=1.000 \times 1,12
M=1.120,00
2ª opção: convertemos o prazo para trimestres. Basta aplicar regra de três.
3 meses correspondem a 1 trimestre.
O nosso prazo é de 12 meses (=6 bimestres). A quantos trimestres isso corresponde?
3 meses --- 1 trimestre
12 meses ---- x
Multiplicando cruzado:
3x=12 \times 1
x = 4 trimestres
O prazo é de 4 trimestres e a taxa é de 3% a.t.
Aplicando a fórmula:
M=C \times (1+ni)
M=1.000 \times (1+4 \times 0,03)
M=1.000 \times 1,12=1.120
A resposta foi exatamente a mesma. Tanto faz o método utilizado. Desde que haja coerência entre as unidades da taxa e do prazo, a resposta será a mesma.
No segundo exemplo, um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao bimestre (juros simples) gerando um montante de R$ 2.000,00. Calcule o prazo da aplicação em trimestres.
Resolução:
Aplicando a fórmula:
M= C \times (1+ni)
2.000 = 1.000 \times (1+n \times 0,02)
{2.000 \over 1.000} = 1+0,02 n
2=1+0,02n
1=0,02n
n={1 \over 0,02} = 50
Como a taxa utilizada está em bimestres, automaticamente este prazo obtido também está em bimestres. Logo, o prazo de aplicação é de 50 bimestres. 50 bimestres, por sua vez, corresponde a 100 meses.
Para passar esse prazo para trimestres, fazemos assim:
1 trimestre ---- 3 meses
x ---- 100 meses
Basta multiplicar cruzado:
3x=100 \times 1
x={100 \over 3}
x=33,33333...
O prazo é de 33,333... trimestres.
Aulas completas e gratuitas no canal do TEC para complementar seus estudos.
Com o Tec Concursos você tem acesso a mais de dois milhões de questões cadastradas, sendo que mais de um milhão delas são comentadas por professores. Além de aulas teóricas sempre atualizadas, feitas por professores especializados, em um ambiente customizável.
E ainda consegue monitorar seu desempenho e sua evolução com os nossos guias de estudo, pacotes para editais com teoria e comentários dos conteúdos mais cobrados nas provas, bem como nos seus resultados individuais ao resolver cada uma das questões.
Dessa forma, é possível direcionar seus estudos para as disciplinas e questões que vão fazer a diferença na sua jornada rumo à aprovação.
O TEC foi decisivo na minha aprovação através do grande número de questões e da qualidade dos comentários dos professores. Francisco Gentil Braga de Sousa Neto Oliveira, 1º — Auditor Fiscal (Prefeitura de Araripe - CE)
Quer avançar nos estudos? Conheça nossos planos e prepare-se com a ferramenta preferida dos aprovados nos concursos e exames mais concorridos do país!
