Resolução do Desafio - Cyonil

por Vítor Menezes em 05/09/2016
Olá pessoal!
 
O professor Cyonil Borges tem publicado em seu facebook uma série de desafios de direito. No último deles, tivemos um desafio "combinado", envolvendo uma questão de matemática, cuja resposta seria usada para resolver uma questão de direito.
 
Para a questão de matemática, pensei em algo relativamente difícil (pois, do contrário, não seria desafio), mas não impossível, para não desmotivar as pessoas a tentarem. Escolhi então um tema de matemática financeira, pelo seguinte motivo: o jeito usual de se complicar uma questão de matemática financeira é dificultando os cálculos. E eu sabia que, mesmo que todo mundo "apanhasse" dos cálculos, ainda assim, querendo, seria suficiente usar um Excel para chegar à resposta.
 
Vamos agora à solução sem usar Excel:
 

Cyonil Borges, dedicado professor de direito administrativo, visando adquirir a coletânea completa das obras de “Direito Administrativo Comparado”, que trabalhassem as legislações de todos os países da Europa, norte da África, e Ásia, resolveu, durante vinte meses seguidos, fazer aportes mensais em um fundo de investimentos que remunera as aplicações segundo uma taxa de 1% ao mês, no regime composto. No mês 01 Borges investiu R$ 500,00 e, a cada novo mês, aumentou a quantia aplicada em R$ 100,00 em relação ao mês anterior, de modo que os depósitos mensais formassem uma progressão aritmética de razão 100.
 
Imediatamente após realizar o vigésimo depósito, Borges retirou um extrato e percebeu que já tinha dinheiro suficiente para comprar a citada coletânea, tendo resolvido sacar todo o montante disponível.
 
Sabendo que o banco cobra, na ocasião da retirada, uma “taxa de saída” de 0,1% do montante disponível na conta, sabendo que não há incidência de quaisquer outros impostos ou taxas, e considerando 1,01^20 = 1,22, assinale a alternativa que indica corretamente o valor da citada taxa, em reais:
a) 31
b) 32
c) 33
d) 34
e) 35
 

Os depósitos são de 500, 600, 700, ... , e assim por diante, seguindo uma PA, até o vigésimo depósito.
 
Para calcular o vigésimo termo da PA, basta partirmos do primeiro termo e somarmos a razão 19 vezes:
 
a_{20}=a_1+19 \times 100 = 500+1.900=2.400
 
O último depósito é de R$ 2.400,00.
 
O valor futuro do nosso fluxo de caixa, na data do último depósito, fica:
 
M=500 \times 1,01^{19}+600 \times 1,01^{18}+700 \times 1,01^{17}+ \cdots + 2.300 \times 1,01+2.400
 
(equação 1)
 
Agora vou multiplicar todos os termos da equação por 1,01:
 
1,01M=500 \times 1,01^{20}+600 \times 1,01^{19}+700 \times 1,01^{18}+ \cdots + 2.300 \times 1,01^2+2.400 \times 1,01
 
(equação 2)
 
 
Agora vou subtrair as duas equações:
 
0,01M = 500 \times 1,01^{20} + 100 \times 1,01^{19}+100 \times 1,01^{18}+ \cdots + 100 \times 1,01-2.400
 
Pronto, essa foi a principal sacada para matar a questão. Basicamente precisávamos construir as duas equações e depois subtrair uma da outra.
 
Se você eventualmente teve dificuldades com esse processo, detalho melhor ao final do comentário [1].
 
Podemos agora colocar 100 em evidência.
 
0,01M=500 \times 1,01^{20} + 100 \times \color{red}{(1,01^{19}+1,01^{18}+ \cdots + 1,01)}-2.400
 
(equação 3)
 
Em vermelho temos a soma dos termos de uma PG, com primeiro termo valendo 1,01, último termo valendo 1,01^{19} e razão igual a 1,01. A soma dos "n" termos da PG é dada por:
 
{a_1\times (q^n-1) \over q-1} = {1,01 \times (1,01^{19}-1) \over 1,01-1}
 
={1,01^{20}-1,01 \over 0,01}
 
={1,22 - 1,01 \over 0,01} = {0,21 \over 0,01} = 21
 
Voltando à equação (3):
 
0,01M=500 \times 1,22+100 \times 21 - 2.400
 
0,01M = 610+2.100-2.400=310
 
M=31.000
 
Portanto, a taxa de saída é dada por:
 
0,1\% \times 31.000=31
 
Resposta: A

A dificuldade da questão recai no fato de não estarmos diante de uma renda uniforme, mas sim variável. Este tipo de problema é bastante raro em provas, mas de vez em quando aparece. Como exemplo, segue uma questão da Ceperj:
 
 

Nota:
 
[1] As nossas duas equações eram:
 
M=500 \times 1,01^{19}+600 \times 1,01^{18}+700 \times 1,01^{17}+ \cdots + 2.300 \times 1,01+2.400
 
(equação 1)
 
 
 
1,01M=500 \times 1,01^{20}+600 \times 1,01^{19}+700 \times 1,01^{18}+ \cdots + 2.300 \times 1,01^2+2.400 \times 1,01
 
(equação 2)
 
 
Do lado esquerdo da igualdade, teremos 1,01M-M = M \times (1,01-1) = 0,01M
 
Do lado direito, temos que analisar por partes:
  • 500 \times 1,01^{20} não tem par, fica desse jeito mesmo
  • Em seguida subtraímos o par que depende de 1,01^{19}: 600 \times 1,01^{19}-500 \times 1,01^{19}= 1,01^{19} \times (600-500) = 100 \times 1,01^{19}
  • Fazemos o mesmo para o par seguinte: 700 \times 1,01^{18} - 600 \times 1,01^{18} = 1,01^{18} \times (700-600) = 100 \times 1,01^{18}
E assim por diante.
 
Já o termo final (-2.400) também fica sem par, deixamos desse jeito mesmo.
 
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