Resolução da prova - ICMS RJ - Matemática Financeira

por Vítor Menezes em 22/01/2014
Oi pessoal. Liberaram hoje o pdf das provas do ICMS RJ. Inicio por matemática financeira. A resolução vai ser um pouco mais direta do que habitualmente faço, mas tenho aí uma quantidade grande de questões a percorrer (amanhã envio RLQ e estatística).
 
Uma instituição de ensino receberá R$ 10.000,00 por ano, como uma doação à perpetuidade. Considerando os juros efetivos de 12,5% ao ano, então o valor atual desta doação será igual a
 
(A) R$ 90.000,00 caso a doação seja antecipada.
(B) R$ 77.500,00 caso a doação seja postecipada.
(C) R$ 80.000,00 caso a doação seja antecipada.
(D) R$ 82.500,00 caso a doação seja postecipada.
(E) R$ 87.500,00 caso a doação seja antecipada.
 
Resolução:
 
Na renda perpétua “típica”, que é a postecipada, o valor atual (A) é dado por:
 
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Onde P é a prestação e “i” é a taxa de juros. Substituindo os valores:
 
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Vamos representar no diagrama de fluxo de caixa a situação da renda postecipada:
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E os pagamentos continuam indefinidamente, todos os anos.
 
Na renda antecipada, além destes mesmos pagamentos acima representados, temos uma entrada, na data 0, de valor R$ 10.000,00.
 
Logo, na renda antecipada, o valor atual será de 80.000,00 (correspondente ao valor presente da renda postecipada), somado com a entrada de 10.000,00. O valor atual será de 90.000,00.
 
Gabarito: A
 
32 – A aplicação de um capital sob o regime de capitalização simples, durante 10 meses, apresentou, no final deste prazo, um montante igual a R$ 15.660,00. A aplicação de um outro capital de valor igual ao dobro do valor do capital anterior sob o regime de capitalização simples, durante 15 meses, apresentou, no final deste prazo, um montante igual a R$ 32.480,00. Considerando que as duas aplicações foram feitas com a mesma taxa de juros, então a soma dos respectivos juros é igual a
(A) R$ 6.660,00
(B) R$ 3.480,00
(C) R$ 4.640,00
(D) R$ 5.600,00
(E) R$ 6.040,00
 
Primeira solução: mais demorada
 
Primeira aplicação:
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Segunda aplicação:
 
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Dividindo as duas equações:
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Simplificando 2 com 32.480:
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Simplificando numerador e denominador (dividindo ambos por 20):
 
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Multiplicando cruzado:
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Voltando em I, calculamos o valor do capital:
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O capital da segunda aplicação é o dobro disso:
 
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A soma dos capitais é:
 
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A soma dos montantes é:
 
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A diferença entre os dois valores nos dá a soma dos juros:
 
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Gabarito: C
 
Segunda solução: mais rápida
 
Primeira aplicação: capital C, durante 10 meses, gerando montante de 15.660
Segunda aplicação: capital 2C, durante 15 meses, gerando montante de 32.480
 
Se a segunda aplicação fosse de C reais (metade do valor original), o montante também seria reduzido pela metade. O montante seria de
 
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Assim, se tivéssemos duas aplicações de C reais, uma por 10 meses e outra por 15 meses, os montantes seriam 15.660 e 16.240.
 
A diferença entre eles corresponde justamente ao juro conseguido durante o período de 5 meses, que é a diferença de prazo entre as aplicações. Assim, o juro para 5 meses corresponde a:
 
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Com isso, acabamos de descobrir que o juro correspondente a uma aplicação de 5 meses do capital C é de R$ 580,00.
 
Na aplicação 1, tivemos 10 meses (10 meses é o dobro de 5 meses). Logo, o juro será de duas vezes 580:
 
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Esse é o juro da primeira aplicação.
 
Na aplicação 2, tivemos 15 meses (15 meses é o triplo de 5 meses). Logo, o juro será de três vezes 580:
 
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Lembrem-se ainda de que, na aplicação 2, o capital na verdade é 2C. Então o juro tem que ser dobrado:
 
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O juro total fica:
 
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Vejam como esta segunda resolução praticamente não exige contas.
 
33) 33. Um título é descontado em um banco 5 meses antes de seu vencimento com a utilização do desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 36% ao ano. Caso este título tivesse sido descontado com a utilização do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 36% ao ano, o correspondente valor atual superaria o valor atual anterior em R$ 517,50. O valor do desconto apurado com a utilização da operação de desconto racional simples é
 
(A) R$ 3.500,00
(B) R$ 3.300,00
(C) R$ 3.350,00
(D) R$ 3.400,00
(E) R$ 3.450,00
 
Taxa de desconto mensal:
 
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Bastou dividir a taxa anual por 12.
 
Valor atual para desconto comercial:
 
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Valor atual para desconto racional:
 
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A diferença entre ambos é de 517,50:
 
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Lembrando que existe uma relação entre tais descontos. Ela é a seguinte:
 
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Portanto:
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O número de períodos é de 5 meses e a taxa de desconto é de 3% ao mês.
 
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Gabarito: E
 
34. Um capital aplicado sob o regime de capitalização composta, durante 1 semestre, apresentou, no final deste prazo, um total de juros de R$ 580,00. Caso esse capital fosse aplicado sob o regime de capitalização composta, durante 1 ano, apresentaria no final deste prazo um total de juros de R$ 1.183,20. Sabe-se que em ambos os casos considerou-se a taxa de i ao semestre (i > 0 ). Um outro capital, no valor de R$ 15.000,00, aplicado, durante 1 ano, sob o regime de capitalização composta a uma taxa de i ao semestre, apresentará no final deste prazo um montante de
 
(A) R$ 16.242,00
(B) R$ 16.200,00
(C) R$ 16.212,00
(D) R$ 16.224,00
(E) R$ 16.236,00
 
Primeira aplicação:
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A diferença entre montante e capital é o juro:
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Segunda aplicação:
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A diferença entre montante e capital é o juro:
 
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Lembrando que o produto de C por i é 580:
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Finalmente, se aplicarmos 15.000,00 a uma taxa de 4% ao semestre, durante 2 semestres, teremos o montante de:
 
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Gabarito: D
 
35. Sabe-se que um capital é aplicado, durante 2 meses e 12 dias, à taxa de juros compostos de 2% ao mês. Utilizando a convenção linear, obteve-se que, no final do prazo de aplicação, o valor dos juros simples correspondente ao período de 12 dias foi igual a R$ 104,04.
Este mesmo capital, aplicado durante 2 bimestres, a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, apresentará no final do período um total de juros igual a
 
(A) R$ 877,20
(B) R$ 1.020,00
(C) R$ 959,60
(D) R$ 938,40
(E) R$ 897,60
 
Montante na convenção linear:
 
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Onde “z” é a parte inteira do prazo e “q” é a parte fracionária.
 
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Em azul temos o montante obtido ao final da parte inteira do prazo. Disto resulta que a parte em vermelho corresponde aos juros da parte fracionária do prazo, que a questão afirmou ser igual a 104,04
 
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Simplificando 1,0404 com 104,04:
 
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Aplicando este capital durante 2 bimestres, à taxa de juros compostos de 4% ab, temos:
 
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E o juro fica:
 
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Gabarito: B
 
36. Um investidor aplica um capital no valor de R$ 12.000,00 durante 1 ano e resgata todo o montante no final deste prazo. Ele verifica que a taxa de inflação do período de aplicação foi de 8% e a respectiva taxa de juros real da aplicação foi de 2,5%. Isto significa que o investidor resgatou um montante no valor de
(A) R$ 13.284,00
(B) R$ 12.660,00
(C) R$ 12.830,00
(D) R$ 13.000,00
(E) R$ 13.260,00
 
Inflação:
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Taxa real:
 
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A taxa nominal “i” é tal que:
 
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O montante é dado por:
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Gabarito: A
 
37. Uma dívida deverá ser quitada por meio de 3 prestações anuais e consecutivas. O valor da primeira prestação, que vence daqui a 1 ano, é igual a R$ 9.240,00, o da segunda é R$ 12.705,00 e o da terceira é R$ 16.770,60. Utilizando o critério do desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, esta dívida poderá ser quitada por meio de duas prestações de valores iguais, vencíveis a primeira daqui a 1 ano e a segunda daqui a 2 anos. O valor de cada prestação, nesta segunda opção, é
(A) R$ 15.750,00
(B) R$ 18.150,00
(C) R$ 17.325,00
(D) R$ 16.500,00
(E) R$ 16.125,00
 
 
Fluxo de caixa original:
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Segundo fluxo de caixa:
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Os dois fluxos de caixa serão equivalentes se tiverem o mesmo valor, na mesma data:
 
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Gabarito: B
 
38. Carlos obtém de um banco um empréstimo para adquirir um imóvel. O empréstimo deverá ser liquidado por meio de 60 prestações mensais e consecutivas e com a utilização do Sistema de Amortização Constante (SAC), vencendo a primeira prestação 1 mês após a data da concessão do empréstimo. Se os valores da primeira prestação e da última são iguais a R$ 4.000,00 e R$ 2.525,00, respectivamente, então o valor da 30 a prestação é igual a
(A) R$ 3.325,00
(B) R$ 3.350,00
(C) R$ 3.250,00
(D) R$ 3.275,00
(E) R$ 3.300,00
 
Devemos nos lembrar que as prestações, no SAC, se comportam como uma progressão aritmética decrescente. Seja “r” a razão da PA.
O primeiro termo da PA é 4.000
 
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O 60º termo é 2.525
 
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A fórmula do termo geral da PA é:
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Agora podemos calcular o trigésimo termo:
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Gabarito: D
 
Instruções: Para resolver às questões de números 39 e 40 considere as informações a seguir:
A tabela abaixo corresponde a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês para ser utilizada em um empréstimo no valor de R$ 100.000,00, que deverá ser quitado por meio de 48 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação 1 mês após a data da concessão do empréstimo. Considere também que deve ser utilizado o Sistema Francês de amortização com uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.
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39. Em 15/10/2013, imediatamente após quitar a 12 a prestação, o devedor conseguiu renegociar a dívida pagando o correspondente saldo devedor com 10% de desconto em 15/10/2013. O valor deste pagamento (P), em reais, é tal que
(A) P > 75.000
(B) P ≤ 72.000
(C) 72.000 < P ≤ 73.000
(D) 73.000 < P ≤ 74.000
(E) 74.000 < P ≤ 75.000
 
Resolução:
 
A multiplicação do fator de recuperação de capital pelo valor financiado resulta na prestação X:
 
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Depois de já ter pago 12 prestações, restam 48 – 12 = 36.
 
O valor atual (A) desta série remanescente, formada por 36 pagamentos, na data 12 (1 mês antes do primeiro pagamento) é tal que:
 
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Se pagarmos este valor com 10% de desconto, o valor pago (P) será de:
 
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Gabarito: E
 
40. O valor da cota de amortização incluída no valor da 2 a prestação é igual a
(A) R$ 1.974,80
(B) R$ 1.260,00
(C) R$ 1.272,60
(D) R$ 1.285,20
(E) R$ 1.630,00
 
Quando do pagamento da primeira parcela temos juros de 2% incidindo sobre o valor financiado:
 
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A dívida então salta para 102.000,00, quando pagamos a primeira prestação de 3.260. A dívida, logo após a primeira prestação, cai para:
 
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Na segunda prestação temos juros de 2% incidindo sobre tal valor:
 
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O restante da prestação é para amortizar a dívida:
 
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Gabarito: D
 
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