Resolução da prova - ICMS RJ - Estatística

por Vítor Menezes em 23/01/2014
Olá pessoal. No meu artigo anterior, resolvi a prova de matemática financeira do ICMS RJ, na qual não ví recursos.
 
Hoje comento a prova de estatística, na qual também não ví recursos.
 
Tentarei ainda hoje postar a resolução da prova de Raciocínio Lógico. Adianto que já resolvi a prova aqui, "no papel", e também não ví recursos.
 
Vamos lá (base - prova tipo 3).
 
41. O Departamento de Pessoal de certo órgão público fez um levantamento dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os seguintes resultados:
 
clip_image001
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400 funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos os valores incluídos em um intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a
(A) 8,93
(B) 8,72
(C) 8,54
(D) 8,83
(E) 8,62
 
Ao valor 8 associamos a frequência acumulada
 
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Ao valor 10 associamos a frequência acumulada:
 
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À mediana (8,8) associamos a frequência acumulada 200 (metade do número de observações).
 
Então temos (valor/frequência acumulada):
 
8 — 148
 
8,8 — 200
 
10 —- 148+x
 
Na interpolação linear, fazemos a diferença entre as linhas. Em seguida, montamos as frações e igualamos:
 
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A soma de todas as frequências simples é 400:
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Criando a variável auxiliar:
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Agora calculamos a média:
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Logo:
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Portanto:
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Gabarito: A
 
42 – Considere o modelo
 
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(omiti a explicação sobre cada símbolo – basicamente é o modelo usual de regressão linear)
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clip_image042
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clip_image050
 
Nessas condições, a soma de quadrados residuais do modelo é igual a
(A) 785
(B) 810
(C) 515
(D) 920
(E) 460
 
Primeiro calculamos clip_image052, que é o estimador de clip_image054:
 
clip_image056
 
clip_image058
A soma de quadrados total é igual a:
 
clip_image060
 
A soma de quadrados do modelo de regressão é:
 
clip_image062
 
Finalmente, calculamos a soma de quadrados dos resíduos:
 
clip_image064
Gabarito: D
 
43. Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é
a) 13/100
b) 13/55
c) 7/55
d) 9/110
e) 9/55
 
Número total de casos:
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Casos favoráveis
 
1º tipo: três itens defeituosos
 
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Há 4 formas de escolhermos três itens defeituosos
 
2º tipo: dois itens defeituosos e um item bom.
 
Escolha dos itens defeituosos:
 
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Escolha do item bom:
 
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Aplicando o princípio fundamental da contagem:
 
clip_image074
 
Há 48 formas de escolhermos 2 defeituosos e 1 bom.
 
Assim, há 3+48 = 51 casos favoráveis.
 
Probabilidade:
 
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Gabarito: B
 
44) Sabe-se que:
I . X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 2p e variância (2p-2p2).
II . Y é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 5p e variância (5p-5p2).
III . A probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16.
Nessas condições, a probabilidade de Y ser superior a 3 é igual a
 
a) 3/1024
b) 1/64
c) 5/512
d) 15/1024
e) 7/512
 
Resolução:
Antes de entrarmos na resolução da questão, vamos analisar uma distribuição Binomial genérica, com parâmetros “p” e “n”.
Sua esperança e sua variância são:
 
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clip_image080
Dividindo a variância pela esperança:
 
clip_image082
 
A divisão entre ambas nos dá a probabilidade de fracasso em um experimento de Bernoulli.
 
Visto isso, vamos atacar a questão. Dividindo a variância de X por sua esperança:
 
clip_image084
 
Concluímos que, para X, a probabilidade “p” é justamente a probabilidade de sucesso em um experimento. Ou seja, a questão está usando a nomenclatura usual, onde “p” é a chance de sucesso em cada extração.
 
Lembrando que a esperança é dada por:
 
clip_image078[1]
 
E comprando isso com:
 
clip_image086
 
Concluímos que:
 
clip_image088
 
Uma distribuição binomial com parâmetro n = 2 só pode assumir valores 0, 1, e 2.
 
A chance de X = 2 é dada por:
 
clip_image090
 
clip_image092
 
Como a chance de X ser menor que 2 é 15/16, então:
 
clip_image094
 
Isto ocorre porque X só assume valores 0, 1 ou 2. Logo, o evento X < 2 é complementar a X = 2.
 
Voltando:
clip_image092[1]
 
clip_image096
 
Agora vamos à variável Y. Dividindo sua variância por sua esperança:
 
clip_image098
 
O que nos indica que, também para a variável Y, a questão usa a simbologia usual (chamar a probabilidade de sucesso de “p”).
Comparando clip_image100 com clip_image102, concluímos que, para Y, temos n=5.
Assim, Y é binomial com parâmetros
 
clip_image104
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Agora calculamos as probabilidades:
clip_image108
clip_image110
Logo:
clip_image112
 
clip_image114
Gabarito: B
 
45) O número de atendimentos, via internet, realizados pela Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é
(A) 0,594
(B) 0,910
(C) 0,766
(D) 0,628
(E) 0,750
 
Dado: clip_image116
 
Resolução:
Se em para 1 hora a média é de 12 atendimentos, então para 20 minutos (um terço de hora), a média é:
 
clip_image118
A fórmula para a distribuição de Poisson é:
 
clip_image120
Agora substituímos “k” por 0, 1 e 2:
 
clip_image122
 
clip_image124
 
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clip_image128
 
Mas nós queremos a probabilidade de X ser maior ou igual a 3. Basta tomar o evento complementar:
 
clip_image130
 
clip_image132
Gabarito: C

Se Z tem distribuição normal padrão, então:
P(Z < 0,8) = 0,788; P(Z < 1,25) = 0,894; P(Z < 1,4) = 0,92;
P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,96) = 0,975; P(Z < 2) = 0,977

46. Seja p a probabilidade de ocorrer cara quando se lança uma determinada moeda. Com base em 100 lançamentos da moeda, deseja-se testar a hipótese de que a moeda é não viciada (p = 0,5) contra a alternativa de que p = 0,8. Com base na variável aleatória clip_image134que representa a proporção de caras em 100 lançamentos, estabeleceu-se para o teste a seguinte região crítica (RC): RC = clip_image136
Sendo β a probabilidade do erro do tipo II , e admitindo-se a aproximação à normal para a distribuição de clip_image134[1] , o valor de β é
(A) 0,150
(B) 0,250
(C) 0,106
(D) 0,053
(E) 0,125
 
Resolução.
O exercício pediu a probabilidade de cometermos o erro de tipo II. Ou seja, de aceitarmos H0 dado que ela é falsa.
Isso significa obter proporção amostral menor que 0,75 quando a proporção populacional é 0,8.
Se a proporção populacional é 0,8 (p = 0,8), podemos calcular a esperança e a variância da proporção amostral, assim:
 
clip_image138
 
clip_image140
 
Agora calculamos a estatística teste (Zt):
clip_image142
 
clip_image144
 
A chance de aceitarmos H0 corresponde à clip_image146
 
O exercício nos disse que:
 
clip_image148
Logo:
 
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Como a normal reduzida é simétrica em torno de 0, temos:
 
clip_image152
Gabarito: C
 
 
47. O tempo necessário para o atendimento de uma pessoa em um guichê de uma repartição pública tem distribuição normal com média μ = 140 segundos e desvio padrão σ = 50 segundos. A probabilidade de que um indivíduo, aleatoriamente selecionado, espere entre 3 e 4 minutos para ser atendido é
(A) 0,765
(B) 0,632
(C) 0,235
(D) 0,189
(E) 0,678
 
O primeiro passo é calcular os escores da normal padrão correspondentes aos valores dados no enunciado. A transformação é feita assim:
 
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Os tempos desejados são 180 segundos (3 minutos) e 240 segundos (4 minutos)
 
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Vamos agora para o gráfico da função densidade da normal reduzida, para indicarmos as áreas desejadas:
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O exercício nos disse que a área à esquerda de 2 vale 0,977. Portanto, a área amarela, à direita de 2, vale:
 
clip_image161
 
O exercício nos disse ainda que a área à esquerda de 0,8 vale 0,788. Portanto, a soma das áreas amarela e verde é igual a:
 
clip_image163
Portanto:
 
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Tal área corresponde à chance de termos observações entre 3 minutos e 4 minutos.
Gabarito: D
 
48. Uma população infinita tem desvio padrão igual a 10 e média μ desconhecida. Uma amostra aleatória com reposição de tamanho n foi selecionada dessa população. Sabe-se que:
 
I . O valor de n deve ser tal que, com probabilidade 16%, o erro em se estimar μ seja superior a 1.
II . Se x é o valor da média amostral da amostra selecionada, então 7, 40 x = .
Baseado na amostra de tamanho n e nas condições I e II acima, um intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança de 95% é dado por
(A) [39,3 ; 42,1]
(B) [39,5 ; 41,9]
(C) [39,7 ; 41,7]
(D) [39,9 ; 41,5]
(E) [38,7 ; 42,7]
 
 
Resolução:
Primeiro vamos determinar o escore da normal padrão que delimita uma área de 16%:
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Queremos que a chance de a normal reduzida Z se afastar de sua média (0) de uma distância maior que Zc seja igual a 16%.
Portanto, a soma das áreas verde e amarela vale 16%. Logo, cada uma delas é igual a 8%.
Se a área amarela é 8%, então:
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clip_image172
 
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Assim, a chance de Z se distanciar de sua média por uma distância superior a 1,4 é de 16%.
E o exercício pediu para que a chance de clip_image176 se distanciar de sua média por uma distância superior a 1 também seja de 16%.
O erro máximo de estimação é dado por:
 
clip_image178
 
Onde Zc é o escore da normal padrão associado à probabilidade desejada. Acabamos de descobrir que vale 1,4.
Queremos que o erro associado a tal probabilidade seja igual a 1:
 
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Finalmente, vamos ao cálculo do intervalo de 95% de confiança. Ele tem o seguinte formato:
 
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O que resulta em:
 
clip_image188
Gabarito: A
 
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