Recursos - prova de matemática financeira - TRF2

por Vítor Menezes em 06/03/2017
[Atualizado com a questão 47]
 
Olá pessoal! Recebi por email um pedido de análise das questões 45, 49 e 47 da prova de matemática financeira - Contador - tipo 3.
 
45) A empresa Tio Ltda resolveu investir em seu parque industrial comprando uma máquina de última geração que fará o serviço com maior eficiência do que as atuais. O valor da máquina à vista é de R$ 250.000,00. A empresa pretende pagar sem entrada e em seis prestações mensais, a operação terá uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Qual será o valor pago ao final do financiamento?

a) R$ 253.000,00
b) R$ 281.540,60
c) R$ 281.550,65
d) R$ 746.496,00
 
Recurso
 
O enunciado afirma que a máquina será financiada em seis prestações, mas não indica qual o sistema de amortização utilizado - se o Sistema de Amortização Constante, se o Sistema Francês, ou algum outro. A falta de especificação do sistema impede a resolução da questão, motivo pelo qual deve ser anulada.
 
Ainda que se utilizem os dois sistemas de amortização mais comuns, justamente aqueles citados acima, não se chega a nenhuma das alternativas, conforme demonstrado nas tabelas abaixo:
 
Amortização pelo sistema SAC
Mês Amortização Juros Prestação Saldo devedor
0 - - - 250.000,00
1 41.666,67 5.000,00 46.666,67 208.333,33
2 41.666,67 4.166,67 45.833,33 166.666,67
3 41.666,67 3.333,33 45.000,00 125.000,00
4 41.666,67 2.500,00 44.166,67 83.333,33
5 41.666,67 1.666,67 43.333,33 41.666,67
6 41.666,67 833,33 42.500,00 0
Total 250.000,00 17.500 267.500,00  
 
 
Amortização pelo sistema Price
Mês Amortização Juros Prestação Saldo devedor
0 - - - 250.000,00
1 39.631,45 5.000,00 44.631,45 210.368,55
2 40.424,78 4.207,37 44.631,45 169.944,46
3 41.232,56 3.398,89 44.631,45 128.711,90
4 42.057,22 2.574,24 44.631,45 86.654,69
5 42.898,36 1.733,09 44.631,45 43.756,33
6 43.756,33 875,13 44.631,45 0,00
Total 250.000,00 17.788,75 267.788,72  
 
Como se observa nas planilhas acima, os totais pagos em cada situação seriam, respectivamente, de R$ 267.500,00 e R$ 267.788,72. Nenhuma das alternativas contempla tais possibilidades, devendo a questão ser anulada.
 
Por fim, o gabarito preliminar indica a resposta R$ 281.540,60, o que corresponde simplesmente ao valor do empréstimo capitalizado seis vezes, ou seja, pressupondo pagamento único ao final do período. Isto está em desacordo com o que fora pedido na questão, já que se estabeleceu a obrigatoriedade de quitação do empréstimo em seis parcelas.
 
Resumindo, diante da falta de especificação do sistema de amortização, da ausência de alternativa com respostas compatíveis com SAC ou Price, bem como da apresentação de gabarito preliminar considerando pagamento único em vez de seis parcelas, pede-se a anulação da questão.

49) Um financiamento de R$ 50.000,00 será pago em 48 prestações mensais pelo sistema PRICE, à taxa de 3% a.m. Qual é o saldo devedor após o pagamento da 20ª prestação?

a) 42.017,46
b) 45.017,46
c) 47.017,46
d) 47.020,46
 
 
Solicita-se a anulação da questão, pois não apresenta alternativa correta, conforme demonstrado na tabela abaixo:
 
Amortização pelo sistema Price
Mês Amortização Juros Prestação Saldo devedor
1 478,89 1.500,00 1.978,89 49.521,11
2 493,26 1.485,63 1.978,89 49.027,86
3 508,05 1.470,84 1.978,89 48.519,80
4 523,29 1.455,59 1.978,89 47.996,51
5 538,99 1.439,90 1.978,89 47.457,51
6 555,16 1.423,73 1.978,89 46.902,35
7 571,82 1.407,07 1.978,89 46.330,53
8 588,97 1.389,92 1.978,89 45.741,56
9 606,64 1.372,25 1.978,89 45.134,92
10 624,84 1.354,05 1.978,89 44.510,08
11 643,59 1.335,30 1.978,89 43.866,49
12 662,89 1.315,99 1.978,89 43.203,60
13 682,78 1.296,11 1.978,89 42.520,82
14 703,26 1.275,62 1.978,89 41.817,55
15 724,36 1.254,53 1.978,89 41.093,19
16 746,09 1.232,80 1.978,89 40.347,10
17 768,48 1.210,41 1.978,89 39.578,62
18 791,53 1.187,36 1.978,89 38.787,09
19 815,28 1.163,61 1.978,89 37.971,82
20 839,73 1.139,15 1.978,89 37.132,08
21 864,93 1.113,96 1.978,89 36.267,16
22 890,87 1.088,01 1.978,89 35.376,28
23 917,60 1.061,29 1.978,89 34.458,68
24 945,13 1.033,76 1.978,89 33.513,55
25 973,48 1.005,41 1.978,89 32.540,07
26 1.002,69 976,20 1.978,89 31.537,38
27 1.032,77 946,12 1.978,89 30.504,62
28 1.063,75 915,14 1.978,89 29.440,87
29 1.095,66 883,23 1.978,89 28.345,20
30 1.128,53 850,36 1.978,89 27.216,67
31 1.162,39 816,50 1.978,89 26.054,28
32 1.197,26 781,63 1.978,89 24.857,02
33 1.233,18 745,71 1.978,89 23.623,84
34 1.270,17 708,72 1.978,89 22.353,67
35 1.308,28 670,61 1.978,89 21.045,39
36 1.347,53 631,36 1.978,89 19.697,87
37 1.387,95 590,94 1.978,89 18.309,91
38 1.429,59 549,30 1.978,89 16.880,32
39 1.472,48 506,41 1.978,89 15.407,84
40 1.516,65 462,24 1.978,89 13.891,19
41 1.562,15 416,74 1.978,89 12.329,04
42 1.609,02 369,87 1.978,89 10.720,02
43 1.657,29 321,60 1.978,89 9.062,73
44 1.707,01 271,88 1.978,89 7.355,72
45 1.758,22 220,67 1.978,89 5.597,51
46 1.810,96 167,93 1.978,89 3.786,54
47 1.865,29 113,60 1.978,89 1.921,25
48 1.921,25 57,64 1.978,89 -0,00
 
A resposta correta seria R$ 37.132,08, a qual não consta de nenhuma alternativa.

Comentários finais.
 
É uma pena que duas questões, além de trabalhosas, tenham sido falhas. Estes tipos de questão fazem com que o candidato, além de perder muito tempo na hora da prova, não chegue a resposta alguma, já que nenhuma alternativa é correta.
 
Se as questões tivessem sido bem feitas, poderíamos esperar:
 
i) ou a presença de tabelas financeiras na prova (não sei se foi o caso, não recebi a prova completa)
ii) ou alternativas espaçadas umas das outras, de tal modo que uma boa aproximação resolvesse o problema.
 
Fora disso, se não houver tabela financeira, e se a alternativa correta for muito próxima de outras alternativas, aí nem aproximação resolve e temos uma questão para simplesmente não ser feita no dia da prova.
 
Vou mostrar um exemplo de aproximação para a segunda questão. Só funcionaria se estivéssemos no caso (ii) acima, isto é, se as alternativas estivessem bem espaçadas (não era o caso desta questão!!!)
 
Sempre que a prova não dá tabela financeira, uma boa ferramenta para fugir das contas é o Binômio de Newton. Temos uma aula só sobre sua utilização no nosso curso completo de financeira (aqui).
 
O problema é que o prazo de 48 meses é muito elevado. Quanto maior o prazo, maior a distorção no uso do Binômio de Newton. Então, para não usar um expoente tão grande, podemos ver o que ocorre justamente na metade do prazo, ou seja, em 24 meses.
 
Vamos lá.
 
O valor da prestação P, multiplicado pelo fator de valor atual (a_{48-0,03}) resulta no valor financiado.
 
P \times a_{48} = 50.000
 
P={50.000 \over a_{48}}
 
Imediatamente após o pagamento da 24ª prestação, restam ainda 24 prestações de P reais. Então o saldo devedor será dado pelo valor atual destas 24 prestações, um mês antes do início da série. Seu valor atual fica:
 
P \times a_{24}
 
={50.000 \over a_{48}} \times a_{24}
 
= {50.000 \over 1,03^{48}-1} \times (1,03^{24}-1) \times 1,03^{48-24}
 
={50.000 \over (1,03^{24} + 1) \times (1,03^{24}-1)} \times (1,03^{24}-1) \times 1,03^{24}
 
Agora simplificamos a fração:
 
={50.000 \over 1,03^{24}+1} \times 1,03^{24}
 
Agora usamos Binômio de Newton:
 
1,03^{24} \approx 1+24 \times 0,03 + {24 \times 23 \over 2} \times 0,03^2 \approx 1,97 \approx 2
 
O que resulta em:
 
\approx {50.000 \over 2+1} \times 2=33.333,33
 
Repare como a aproximação foi boa, já que o valor correto seria 33.513,55.
 
Muito bem, se o saldo devedor após a 24ª prestação é de cerca de R$ 33.000,00, então o saldo devedor após a 20ª prestação é um pouco maior do que isso. Uma boa questão traria uma única alternativa com valor um pouco maior que R$ 33.000,00.
 
Agora, se a questão trouxesse várias alternativas um pouco maiores que R$ 33.000,00, todas muito próximas umas das outras, aí não tem aproximação que resolva.

[Atualização - questão 47]
 
A questão 47 da mesma prova também deve ser anulada:
 
47) A empresa Nossa Ltda possui um financiamento e faltam duas prestações de R$ 1.000,00, elas vencem em 30, 60 e 90 dias, sabe-se que a taxa de juros compostos usada neste financiamento foi de 2,3% ao mês. Se a empresa desejasse quitar estas prestações hoje, quanto ela pagaria?

a) 2.800,17
b) 2.817,11
c) 2.867,11
d) 3.000,00
 
 
Recurso
 
Inicialmente afirma-se que faltam duas prestações de R$ 1.000,00. Logo em seguida, são dadas três datas de vencimento: 30, 60 e 90 dias. Oras, não é possível que duas prestações correspondam a três datas de vencimento distintas.
 
Devido à incoerência entre os dados da questão, solicita-se sua anulação.
 
 
 
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