Questões Consulplan

por Vítor Menezes em 02/03/2017
Recebi do Maikon, aluno do Tec, pedido de resolução de três questões da Consulplan, dos concursos de
 
01) Numa papelaria são vendidos três tipos de lápis e ‘n’ tipos de caneta. Se o número de maneiras de se comprar dois lápis e duas canetas nessa papelaria é igual a 30, então ‘n’ é igual a: A) 4. B) 5. C) 6. D) 8.
 
Resolução:
 
Questão cobrando o caso de "combinação com repetição", que nos meus cursos eu gosto de tratar como "permutação com repetição".
 
Há 3 tipos lápis, e queremos escolher 2. A ordem de escolha não importa (por isso é combinação), mas podemos pegar mais de um lápis do mesmo tipo (por isso é com repetição).
 
Sendo n o número de categorias e p a quantidade de elementos que selecionaremos, o número de maneiras de fazer a escolha é dada por:
 
(n+p-1)! \over (n-1)! \times p!
 
={4! \over 2! \times 2!}
 
=\color{red}{6}
 
Há 6 maneiras de escolhermos a dupla de lápis.
 
Para as canetas, são "n" categorias, e vamos escolher 2. O número de maneiras de se fazer a escolha é:
 
{(n+2-1)! \over (n-1)! \times 2!}
 
={(n+1)! \over (n-1)! \times 2}    (*)
 
=\color{red}{{(n+1) \times n \over 2}}
 
O número total de formas de escolher os lápis e as canetas é dado pelo produto das quantias em vermelho
 
30=6 \times {(n+1) \times n \over 2}
 
n \times (n+1) = 10
 
Nenhuma das alternativas satisfaz a esta equação. Caberia recurso.
 
Para chegar ao gabarito da banca, precisamos mudar o enunciado.
 
01) Numa papelaria são vendidos três tipos de lápis e ‘n’ tipos de caneta. Se o número de maneiras de se comprar dois lápis de tipos diferentes e duas canetas, também de tipos diferentes, nessa papelaria é igual a 30, então ‘n’ é igual a: A) 4. B) 5. C) 6. D) 8.
 
Agora sim, caímos num caso de combinação normal, sem repetição, pois foi fixado que os tipos de lápis devem ser diferentes. Idem para as canetas.
 
C_{3,2} = 3 formas de escolher os dois lápis. 
 
C_{n,2} maneiras de escolher as canetas.
 
De modo que o número total de escolhas fica:
 
3 \times C_{n,2} = 30
 
C_{n,2} = 10
 
n=5
 
Se você não se lembrasse que C_{5,2} = 10, poderia testar rapidamente as alternativas.
 
Resposta: B

02) Um triângulo retângulo possui 216 cm2 de área. Sabendo que esse triângulo é semelhante ao triângulo pitagórico de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, então seu perímetro mede: A) 56 cm. B) 64 cm. C) 68 cm. D) 72 cm.
 
 
Resolução.
 
O triângulo pitagórico 3/4/5 tem base medindo 3 e altura medindo 4. De modo que sua área fica:
 
{3 \times 4 \over 2} = 6
 
O triângulo pedido na questão tem área 216. A razão entre as áreas fica:
 
{216 \over 6} = 36
 
A razão entre as áreas é 36. Lembrando que a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança (r):
 
r = \sqrt {36} = 6
 
A razão de semelhança vale 6.
 
O perímetro do triângulo menor vale: 3+4+5=12
 
Portanto, o perímetro do triângulo grande mede: 12 \times r = 12 \times 6 = 72

03) Ronaldo faz academia de ginástica e todos os dias corre na esteira, obedecendo a certo padrão. Ele começa seu exercício na esteira com determinada velocidade e a cada minuto a aumenta 0,72 km/h. Certo dia, ele percorreu 2.610 m em 15 minutos. A velocidade inicial de Ronaldo nesse dia foi de: A) 5 km/h. B) 5,4 km/h. C) 5,76 km/h. D) 6 km/h.
 
Resolução:
 
Seja d_1 a distância percorrida no primeiro minuto, d_2 a distância percorrida no segundo minuto, e assim por diante.
 
A cada minuto, ele aumenta a velocidade em 0,72 km/h.
 
0,72 \times {1 \text{ km} \over 1 \text{ hora}} = 0,72 \times {1.000 \text { m} \over 60 \text { min}}
 
=12 \text { m/min}
 
A cada minuto ele aumenta a velocidade em 12m/min. Ou seja, no minuto seguinte ele anda 12 metros a mais do que andara no minuto anterior. 
 
Assim, d_1, \, d_2, \, \cdots, \, d_{15} formam uma PA de razão 12.
 
A soma dos termos da PA vale:
 
{d_1 + d_{15} \over 2} \times 15 = 2.610
 
d_1+d_{15} = 348    (I)
 
Além disso, a diferença entre d_{15} e d_1 corresponde a 14 vezes a razão.
 
d_{15}-d_1 = 14 \times 12   (II)
 
Subtraindo as duas equações:
 
2d_1 = 348 - 14 \times 12
 
d_1=90
 
No primeiro minuto ele percorre 90 metros. Ou seja, inicia com uma velocidade de 90 metros por minuto.
 
90 \text{m/min}
 
Multiplicando por 60, convertemos isso em metros por hora. E dividindo por 1.000, convertemos finalmente em km por hora.
 
90 \times 60 \div 1.000=5,4
 
A velocidade inicial é de 5,4 km/h.

 
(*) Detalhando melhor esta parte aqui:
 
{(n+1)! \over (n-1)! \times 2}
 
Vamos desenvolver o maior fatorial, até chegarmos ao menor fatorial:
 
={(n+1) \times n \times (n-1)! \over (n-1)! \times 2}
 
Agora basta simplificar os termos que se repetiram:
 
={(n+1) \times n \times \cancel{(n-1)!} \over \cancel {(n-1)!} \times 2}
 
={(n+1) \times n \over 2}
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