Questão Vunesp

por Vítor Menezes em 11/07/2019
Recebi o pedido de resolução da questão abaixo, da Vunesp:
 
Carlos está lecionando ou Carlos usa sandália e bermuda.
Conclui-se, logicamente, que:
(A) Se Carlos está de sapatos, então Carlos está lecionando.
(B) Se Carlos está de sandália e bermuda, então Carlos não está lecionando.
(C) Ou Carlos leciona ou Carlos usa bermuda.
(D) Carlos leciona e Carlos usa sandália ou bermuda.
(E) Carlos não leciona quando está de sapatos.
 
O remetente não informou o gabarito. Em todo caso, vamos à resolução.
 
1ª solução: mais demorada, porém estruturada (tabela verdade)
 
Dando nomes às proposições simples:
  • \ell: Carlos está lecionando
  • s: Carlos usa sandália
  • b: Carlos usa bermuda
 
A questão deixa implícito que a afirmação "Carlos está lecionando ou usa sandália e bermuda" é verdadeira. 
 
De início, vamos representá-la por meio da simbologia lógica:
 
(Carlos está lecionando) ou [(Carlos usa sandália) e (Carlos usa bermuda)]
 
\ell \vee (s \wedge b)
 
A tabela verdade fica assim:
 
Linha \ell s b s \wedge b \ell \vee (s \wedge b)
1 V V V
V
V
2 V V F F V
3 V F V F V
4 V F F F V
5 F V V V V
6 F V F F F
7 F F V F F
8 F F F F F
 
A tabela foi montada com o seguinte raciocínio: sempre que uma das parcelas da disjunção fosse V (vide marcações em azul), a proposição composta seria V também (vide células em amarelo).
 
As linhas de proposição composta falsa devem ser eliminadas, pois contrariam nossa premissa.
 
Agora vamos para as alternativas:
 
(A) Se Carlos está de sapatos, então Carlos está lecionando.
 
Se Carlos está de sapato, isto significa que NÃO está de sandálias. Ou seja, "s" é falso. Então estamos nas linhas 3 ou 4 da tabela. Ora, nestas duas linhas podemos notar que, de fato, \ell é verdadeiro, ou seja, ele realmente está lecionando. 
 
Portanto, correta a letra A.
 
 
Pergunta: Vitor, não deveríamos analisar as linhas restantes, ou seja, as linhas 1, 2 e 5?
 
Pode analisar tranquilamente! Nelas teremos condicional com antecedente F. Isto já garante condicional verdadeiro. Ou seja, nestas linhas não haverá problema. É por isso que, sempre que uma alternativa traz um condicional, vamos direto para as linhas em que o antecedente é V (neste caso, Carlos usa sapatos). 
 
 

(B) Se Carlos está de sandália e bermuda, então Carlos não está lecionando.
 
Agora queremos analisar o que ocorre quando Carlos está de sandália e bermuda. Ou seja, s \wedge b é verdadeiro. Então estamos nas linhas 1 ou 5 da tabela. 
 
Na linha 1, Carlos está sim lecionando, ao contrário do que disse a alternativa. Letra B errada.

(C) Ou Carlos leciona ou Carlos usa bermuda.
 
Foi dito que a proposição \ell \underline \vee b é verdadeira. Para uma disjunção exclusiva ser V, suas duas parcelas devem ter valores lógicos opostos. 
 
Mas vemos que, na linha 1, ambas têm valor V, o que torna errada a letra C.

(D) Carlos leciona e Carlos usa sandália ou bermuda.
 
Temos a seguinte proposição composta:
 
\ell \wedge (s \vee b)
 
A linha 5 a torna incorreta, vejam:
 
\mbox F \wedge (\mbox V \vee \mbox V)
 
\mbox F \wedge \mbox V
 
\equiv \mbox F
 
Alternativa D - incorreta.

(E) Carlos não leciona quando está de sapatos.
 
Se Carlos não está de sapatos, então "s" é falsa, ou seja, estamos nas linhas 3 ou 4. Em ambas as linhas ele leciona sim, ao contrário do que foi dito na alternativa.
 
Letra E - errada.

2ª Solução
 
A premissa dada na questão foi esta:
 
\ell \vee (s \wedge b)
 
 
(A) Se Carlos está de sapatos, então Carlos está lecionando.
 
Na letra "A", queremos analisar o que ocorre quando Carlos está de sapatos (logo, não está de sandálias, ou seja, "s" é falso). 
 
Ficamos com:
 
\ell \vee (\mbox F \wedge b)
 
A primeira parcela da conjunção é F. Isto torna a conjunção inteira falsa.
 
\ell \vee \mbox F 
 
A segunda parcela da disjunção é F. Para garantir disjunção verdadeira, a primeira parcela obrigatoriamente deve ser V.
 
\ell: verdadeiro
 
Logo, Carlos leciona sim.
 
Portanto, é correto dizer que, quando ele usa sapatos, leciona. Alternativa correta.
 
 
 

(B) Se Carlos está de sandália e bermuda, então Carlos não está lecionando.
 
Na letra B, temos "s" verdadeiro e "b" verdadeiro.
 
\ell \vee (s \wedge b)
 
\ell \vee (\mbox V \wedge \mbox V)
 
\ell \vee \mbox V
 
A segunda parcela da disjunção já garante proposição composta V, independentemente do valor lógico de \ell. Logo, nada podemos afirmar sobre \ell ser V ou F. Letra B errada.
 
 

(C) Ou Carlos leciona ou Carlos usa bermuda.
 
A letra C nos diz que \ell e b obrigatoriamente têm valores lógicos opostos (é isto o que significa a disjunção exclusiva). Mas isso é evidentemente falso. Basta notar que o caso em que ambos são V nos atende perfeitamente.
 
\ell \vee (s \wedge b)
 
\mbox V \vee (\mbox s \wedge \mbox V)
 
A primeira parcela da disjunção é V, o que garante proposição composta V.
 
\equiv \mbox V
 
Pronto! Foi possível satisfazer a premissa, mesmo quando b e \ell tinham o mesmo valor lógico. Letra C errada.

(D) Carlos leciona e Carlos usa sandália ou bermuda.
 
Um contra-exemplo é o caso em que Carlos não leciona e usa sandália e bermuda.
 
\ell \vee (s \wedge b)
 
\mbox F \vee (\mbox V \wedge \mbox V)
 
\mbox F \vee \mbox V
 
\equiv \mbox V
 
Pronto, conseguimos satisfazer à premissa mesmo sem que Carlos lecionasse. Logo, letra D errada.

(E) Carlos não leciona quando está de sapatos.
 
Já vimos na letra A que é o contrário: quando ele está de sapatos, ele leciona sim. Letra E incorreta.
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