Questão da Quadrix - Cobra Tecnologia SA

por Vítor Menezes em 30/09/2015
Recebi um pedido, feito pela Luciana Lage, para resolver a questão a seguir, extraída do concurso elaborado pela Quadrix.
 
Um  fundo  de  investimentos  de  um  determinado  banco oferece  uma  taxa  anual  de juros  de  20%.  Qual  é  o valor da
taxa  mensal  equivalente  dessa  aplicação,  considerando-se juros compostos?
Observação:  considere  que  1  ano  possui  360  dias  e  que  1 mês possui 30 dias.
(A)  1,53%
(B)  2,52%
(C)  1,20%
(D)  0,55%
(E)  0,88%
 
Resolução
 
(1) Supondo que a banca tenha fornecido, a parte, uma folha contendo potências com expoentes fracionários.
 
Sejam i_a a taxa anual (20%) e i_m a taxa mensal. A cada 1 capitalização anual, temos 12 capitalizações mensais. Logo:
 
1+i_a=(1+i_m)^{12}
 
1,2=(1+i_m)^{12}
 
i_m=1,2^{1 \over 12}-1
 
É neste ponto que precisamos de uma tabela, para nos informar que a potência acima vale 1,015309. Resultado:
 
i_m=1,015309-1=1,5309 \%
 
Resposta: A

(2) Supondo que a banca não forneceu a tabela
 
Como a taxa é pequena, e o período é pequeno, usar juros simples ou compostos dá pouca diferença.
 
Se fosse no regime simples, a taxa mensal seria de:
 
{20 \% \over 12} = 1,67 \%
 
No regime composto, como teremos juros sobre juros, precisamos de uma taxa um pouquinho menor que 1,67% para chegar nos 20% anuais. Só com essa análise dá para marcar a letra "A".

(3) Se o candidato não ficar seguro entre as letras A e C, pode testar cada uma delas. Basta capitalizar 1,53% por 12 meses, depois capitalizar 1,2% por 12 meses, e ver qual resulta em 20% ao ano.
 
Testando a letra A:
 
1,0153^{12} = ?
 
Para fazer essa conta, podemos aproximar com o binômio de Newton:
 
\approx 1 + 0,0153 \times C_{12,1}+0,0153^2 \times C_{12,2}
 
A vantagem disso foi trocar um expoente 12 por um expoente 2.
 
Continuando:
 
\approx 1 + 0,0153 \times 12+ 0,0153^2 \times 66
 
\approx 1,199
 
=1+19,9 \%
 
Obtivemos já praticamente os 20% ao ano, o que comprova que a letra A é a correta.
 
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