Questão 62 - prova de engenheiro de petróleo

por Vítor Menezes em 23/02/2016
Olá pessoal, hoje recebi pedido para comentar a questão abaixo, elaborada pela Cesgranrio.
 

Dados históricos revelaram que 40% de uma população têm uma determinada característica. Desses 40%, 25% têm o perfil desejado por um pesquisador. Quantas pessoas devem ser entrevistadas, no mínimo, para que a probabilidade de encontrar pelo menos uma pessoa
com o perfil desejado pelo pesquisador seja igual ou superior a 70%?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13   
(E) 14
 
Dados:
 
 

Comentários.
 
Sabemos que 40% das pessoas têm determinada característica e, destas, 25% têm o perfil desejado. Então, dentro da população, a proporção de pessoas com o perfil desejado é de:
 
p=0,25 \times 0,4= 0,1
 
Já a proporção de pessoas que não têm o perfil desejado é de:
 
q=1-p=0,9
 
Considere que entrevistamos "n" pessoas. O evento "A" ocorrerá quando pelo menos um entrevistado apresentar a característica desejada. Deseja-se que:
 
P(A) \ge 0,7
 
O evento complementar, \bar A, ocorre quando ninguém apresenta a característica desejada.
 
P(A) \ge 0,7 \to P(\bar A) < 0,3
 
Para que o evento \bar A ocorra, precisamos que:
  • o primeiro entrevistado não apresente tal característica (chance de 0,9)
  • o segundo entrevistado não apresente tal característica (chance de 0,9)
  • ...
  • o enésimo entrevistado não apresente tal característica (chance de 0,9)
Assim:
 
P(\bar A) = 0,9 \times 0,9 \times \cdots \times 0,9 = 0,9^n
 
Mas já vimos que a probabilidade do evento complementar é menor que 0,3.
 
0,9^n < 0,3
 
Aplicando logaritmo dos dois lados da inequação:
 
n \times \log 0,9 < \log 0,3
 
n \times (-0,046) < -0,523)
 
n \times 0,046 > 0,523
 
n > {0,523 \over 0,046}
 
n> 11,36
 
Como "n" deve ser inteiro (pois é o número de pessoas entrevistadas), tomamos n=12.
 
Resposta: C
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