Prova de matemática financeira do ISS Teresina

por Vítor Menezes em 30/08/2016
11.  Joana aplicou todo seu capital, durante 6 meses, em 2 bancos (X e Y). No Banco X, ela aplicou 37,5% do capital sob o regime
de capitalização simples e verificou que, no final do período de 6 meses, o valor dos juros foi de R$ 2.250,00. No Banco Y, ela
aplicou o restante do capital sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de 4% ao trimestre, verificando que, no final do
período de 6 meses, o valor dos juros foi de R$ 4.080,00. A taxa de juros anual correspondente à aplicação no Banco X foi de
 
(A)  10,50%
 
(B)  15,00%
 
(C)  13,50%
 
(D)  12,00%
 
(E)  11,25%
 
Resolução
 
Primeira solução
 
Banco Y, o capital vale C_y, os juros são de J_y 4.080, a taxa de juros é de 4% ao trimestre (i_y=0,04) e são 2 trimestres de aplicação (n=2).
 
Aplicando a fórmula do montante para o regime composto:
 
M_y = C_y \times (1+i_y)^n
 
C_y+ 4.080 = C_y \times 1,04^2
 
1,0816 \times C_y - C_y = 4.080
 
C_y = {4.080 \over 0,0816} = 50.000
 
Este capital corresponde a 62,5% do capital total.
 
C_y = 0,625C
 
C = {50.000 \over 0,625}=80.000
 
Já o capital aplicado em X corresponde a 37,5%. Portanto:
 
C_x = 0,375 \times C = 0,375 \times 80.000=30.000
 

Banco X
 
Agora os juros valem 2.250, o prazo de aplicação é de 0,5 anos, o capital vale 30.000,00 e queremos descobrir a taxa de juros.
 
J_x = C_ x \times n \times i_x
 
2.250=30.000 \times 0,5 \times i_x
 
i_x = {2.250 \over 15.000} = 15\%
 

Resposta: B

Segunda solução.
 
No banco Y, temos 4% incidindo durante 2 períodos, capitalização composta, o que vai dar 8,16%. Estes 8,16%, sobre 0,625C, resultam em juros e 4.080.
 
No banco X, temos uma taxa trimestral i_t, incidindo sobre os mesmos dois períodos, mas agora em capitalização simples. Isso corresponderá a 2 \times i_t sobre 0,375C, resultando em 2.250,00.
 
Podemos então montar a seguinte regra de 3:
 
0,0816 \times 0,625C .... 4.080
 
2 \times i_t \times 0,375C .... 2.250
 
Multiplicando cruzado:
 
i_t \times (2 \times 0,375 \times 4.080) = 2.250 \times 0,625 \times 0,0816
 
4.080 simplificando com 0,0816 dá 50.000.
 
i_t = {2.250 \times 0,625 \over 0,375 \times 2 \times 50.000}
 
Para achar a taxa anual, basta multiplicar isso por 4:
 
i_a = {4 \times 2.250 \times 0,625 \over 0,375 \times 100.000}
 
i_a = {9.000 \over 100.000} \times {0,625 \over 0,375}
 
i_a = 9\% \times {5 \over 3}
 
i_a = 15\%
 

12)  Uma aplicação no valor de R$ 25.000,00 por um período de 1 ano permitirá que seja resgatado, no final do período da aplicação,
um montante no valor de R$ 28.730,00. Para que a taxa real de juros desta aplicação seja no mínimo de 4%, a taxa de inflação
deste ano terá que ser no máximo igual a
 
(A)  12,00%
 
(B)  11,20%
 
(C)  9,80%
 
(D)  10,50%
 
(E)  10,92%
 
Resolução
 
Primeiro determinamos a taxa nominal i:
 
{28.730 \over 25.000} = i+i
 
1+i = {4 \times 28.730 \over 100.000} = 1,1492
 
i=14,92\%
 
Se pudéssemos simplesmente subtrair a inflação 4%, para obter a taxa real, o resultado seria 14,92\% - 4\% = 10,92\%. Contudo, como temos na verdade incidência composta, ou seja, como a taxa real vai incidir sobre a taxa de inflação para produzir os 14,92%, precisaremos de um valor um pouco menor que 10,92% para gerar tal resultado. Então ficamos com a letra D.
 
Resposta: D
 
Fazendo o cálculo exato:
 
1+i=(1+j) \times (1+r)
 
Acima, j é a taxa de inflação e r é a taxa real.
 
1,1492 = 1,04 \times (1+r)
 
1+r = 1,105
 
r=10,5\%
 
Resposta: D

13.  Uma  duplicata  é  descontada  6 meses  antes  de  seu  vencimento  em  um  banco  que  adota  uma  taxa  de  desconto  de  5%  ao
trimestre  para  qualquer  operação  de  desconto.  Verifica-se  que  o  valor  do  desconto  com  a  utilização  do  desconto  racional
composto  supera  o  valor  do  desconto  com  a  utilização  do  desconto  racional  simples  em  R$ 50,00.  Caso  a  opção  seja  pela
utilização do desconto comercial simples, o valor do desconto será, então,
 
(A)  R$ 2.425,50.
 
(B)  R$ 2.275,50.
 
(C)  R$ 2.505,75.
 
(D)  R$ 2.250,00.
 
(E)  R$ 2.200,00.
 
Resolução
 
Seja N o valor nominal do título. O desconto racional composto fica:
 
N - {N \over 1,05^2}
 
N - {N \over 1,1025}   (equação 1)
 
O desconto racional simples fica:
 
N - {N \over 1+ 0,05 \times 2}
 
N - {N \over 1,1}  (equação 2)
 
Fazendo a diferença entre as duas equações, temos o valor de R$ 50,00:
 
{N \over 1,1} - {N \over 1,1025} = 50
 
{1,1025N - 1,1N \over 1,1 \times 1,1025}=50
 
N={50 \times 1,1 \times 1,1025 \over 0,0025}
 
Multiplicando numerador e denominador por 400:
 
N=50 \times 1,1 \times 1,1025 \times 400=24.255
 
Agora calculamos o desconto comercial simples:
 
D=N \times i \times n
 
D = 24.255 \times 0,05 \times 2
 
D = 2.425,5
 
Resposta: A

14.  Uma dívida no valor de R$ 16.000,00 deverá ser liquidada por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a
primeira prestação 1 mês após a data da concessão da dívida. Utilizando o sistema de amortização francês, observa-se que os
saldos devedores da dívida, imediatamente após o pagamento da primeira e da segunda prestação, são iguais a R$ 12.956,00 e
R$ 9.835,90, respectivamente. O valor dos juros incluído na segunda prestação é igual a
 
(A)  R$ 259,12.
 
(B)  R$ 388,68.
 
(C)  R$ 245,90.
 
(D)  R$ 362,80.
 
(E)  R$ 323,90.
 
Resolução
 
Se o saldo devedor após o pagamento da primeira prestação era de 12.956,00, então a primeira amortização foi de:
 
q_1 = 16.000-12.956=3.044
 
Fazendo a diferença entre o saldo devedor após a primeira prestação, e após a segunda, temos a segunda amortização:
 
q_2 = 12.956-9.835,90=3.120,10
 
Fazendo a relação entre os dois valores, temos o fator de capitalização.
 
1+i = {q_2 \over q_1} = {3.120,10 \over 3.044}
 
i=2,5\%
 
Portanto, os juros embutidos na segunda prestação foram de 2,5% do saldo devedor observado no mês anterior.
 
0,025 \times 12.956=323,90
 
Resposta: E
 

15.  A taxa interna de retorno positiva do fluxo de caixa abaixo correspondente a determinado projeto é de 12% ao ano.
 
Ano Fluxo de caixa (R$)
0 -39.000
1 X
2 2X
 
O valor de X é igual a
 
(A)  R$ 14.560,00.
 
(B)  R$ 15.052,80.
 
(C)  R$ 15.680,00.
 
(D)  R$ 14.616,00.
 
(E)  R$ 16.240,00.
 
Resolução:
 
39.000={X \over 1,12}+{2X \over 1,12^2}
 
39.000 \times 1,12^2 = 1,12X+2X
 
X={39.000 \times 1,12^2 \over 3,12}
 
X=15.680
 
Resposta: C
 
 
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