Matemática Financeira - Revisão para o ISS SP

por Vítor Menezes em 05/05/2014
Olá pessoal!
 
Selecionei hoje duas questões de prova da Cetro, para revisarmos alguns pontos importantes de matemática financeira, que podem passar batido pelos concurseiros.
 
As duas questões foram cobradas no concurso da Anvisa, realizado em 2013.
 
Segue a primeira:

(Cetro - Anvisa/2013) João está avaliando duas alternativas de investimento mutuamente excludentes: uma, de escala maior, que promete VPL (Valor Presente Líquido) de R$1.000,00 e tem TIR (Taxa Interna de Retorno) de 25%; e outra, de escala menor, VPL de R$500,00 e TIR de 30%. Sendo assim, assinale a alternativa que apresenta a correta aplicação dos conceitos de avaliação de investimentos.
a) A melhor alternativa é a de TIR 30%, que é maior que a TIR da outra alternativa, e não importa que seu VPL seja menor.
b) A melhor alternativa é a de TIR 25%, que é menor que a TIR da outra alternativa, e esse é o critério que importa em decisão de investimentos.
c) A melhor alternativa é a de VPL de R$1.000,00, que é maior que o VPL da outra alternativa, sendo esse o critério mais relevante.
d) A melhor alternativa é a de VPL R$500,00, que é a de menor VPL, e esse é o critério determinante.
e) Não é possível determinar o melhor investimento.
 
Há algumas situações em que a análise de alternativas de investimento pela TIR apresenta resultados contraditórios à análise pelo VPL. Este conflito é bastante cobrado em provas.
 
Não vou me alongar na discussão, pois não é o propósito do presente artigo. Para quem quiser ver uma explicação detalhada, sugiro ver o último capítulo do meu livro de Matemática Financeira.
 
O que você precisa levar para a prova é o seguinte. Em primeiro lugar, numa situação do dia a dia, precisaríamos de uma quantidade maior de informações para dizer que alternativa é a melhor. Portanto, nada de ficar "brigando com o enunciado" dizendo que faltam informações para responder à questão.
 
Quando as bancas cobram este conflito, o que elas querem é que o candidato escolha a opção de maior VPL.
 
A TIR tem vários problemas teóricos. O mais comumente criticado em provas é o fato de ela partir do pressuposto de que as receitas são reinvestidas à TIR, o que é frequentemente um pressuposto irreal.
 
Por conta disso, quando as questões de concurso confrontarem VPL com TIR, a gente sempre escolhe a alternativa de investimento com o melhor VPL. Isto pois o VPL não apresenta tais problemas teóricos, pois pressupõe que as receitas são reinvestidas à taxa mínima de atratividade, o que é algo bem realista.
 
Deste modo, devemos escolher pela alternativa de maior Valor Presente Líquido. Podemos partir para as alternativas:
 
Alternativa A - INCORRETA. A melhor alternativa é a de TIR 25%, pois ela tem maior VPL.
 
Alternativa B - INCORRETA. De fato, a melhor alternativa é a de TIR 25%. Mas a alternativa erra ao dizer o motivo pelo qual ela é melhor. O motivo é ter o maior VPL, e não a menor TIR.
 
Alternativa C - CORRETA.
 
Alternativas D e E - INCORRETAS. Escolhemos a alternativa com maior VPL.

(Cetro - Anvisa/2013) Para quitar um empréstimo, Roberto está negociando pagar $8.000,00 daqui a 2 (dois) meses e $8.000,00 daqui a 6 (seis) meses. Caso esse empréstimo fosse quitado hoje, à taxa de desconto de 3,6% ao mês, é correto afirmar que o valor seria de
a) $10.589,21.
b) $13.924,08.
c) $15.875,59.
d) $12.122,34.
e) $11.987,89.
 
 
Vou usar esta questão para falar do cálculo financeiro sem tabela.
 
A prova em pdf da Anvisa, constante do site da banca, não está acompanhada de tabela financeira. Aqui temos duas possibilidades: ou a prova em papel era diferente da prova em pdf, apresentando a tabela, ou a banca de fato não entregou tabela e o candidato tinha que se virar.
 
Este último caso, infelizmente, ocorre de vez em quando. Ter que fazer contas com expoentes grandes, "na mão", é algo que ninguém merece, perde-se muito tempo.
 
Só que existe um jeito de escapar destas contas, com maior rapidez, usando o chamado binômio de Newton. Uma explicação detalhada do uso desta ferramenta pode ser visto no meu livro Introdução à Matemática Financeira. É grátis, vale a pena conferir!. Vide capítulo "Cálculo do montante sem tabela financeira".
 
Bom, o resultado final deste capítulo, é o seguinte. O binômio de Newton nos diz que:
 
 
Trazendo isso para matemática financeira, quando precisarmos calcular
 
 
basta usar o binômio. Fazemos , , e desenvolvemos apenas até o expoente 2. Isto porque geralmente a taxa é um valor bem pequeno e, quando elevada ao cubo, já dá praticamente 0.
 
A questão acima ilustra justamente isso. Vamos ver como fica.
 
Segue representação dos pagamentos:
 
 
Precisamos trazer os pagamentos para a data 0. Como se trata de um financiamento bancário, e como os bancos cobram juros compostos, então, na hora de calcular o valor presente, devemos usar o desconto racional composto. Para voltar um valor "n" meses para o passado, dividimos por .
 
Resultado:
 
 
A dificuldade agora é calcular isso "na mão". Se a prova tiver fornecido tabela financeira, blz, basta consultar a tabela e fazer as contas.
 
Se a prova não tiver fornecido, minha sugestão é usar a aproximação com o binômio de Newton, assim:
 
 
 
 
Notem que precisamos ir apenas até o expoente 2, o que facilita muito nosso trabalho. Detalhe: se você tivesse usado calculadora, obteria 1,236398, o que mostra que nossa aproximação é muito boa.
 
Para facilitar as contas que vêm em seguida, vamos tomar este valor como 1,23.
 
 
Para o expoente 2, dá para ir bem sem o binômio, assim:
 
 
 
 
 
Vamos tomar este valor como 1,07.
 
Com isso reduzimos nosso maior trabalho braçal a elevar 0,036 ao quadrado.
 
Agora podemos voltar às contas:
 
 
Gabarito: B
 
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