ICMS SC - Resolução da prova de RL e Estatística - parte 3

por Vítor Menezes em 20/11/2018
37) A tabela a seguir...
 
Resolução
 
A soma de todas as frequências relativas é 100%:
 
a+(a+20\%)+b+(b-10\%)=100\%
 
2a+2b=90\%
 
a+b=45\%
 
Foi dito ainda que a diferença entre "b" e "a" vale 5%.
 
b-a=5\%
 
Somando as duas equações acima:
 
(a+b)+(b-a) = 45\%+5\%
 
2b=50\% \to b = 25\%
 
Voltando na primeira equação:
 
a+b=45\%
 
a=45\%-b
 
a=45\% - 25\% = 20\%
 
A nossa tabela fica assim:
 
Faixa salarial Ponto médio da faixa (X) Freq. Relativa (f) X \times f Freq. Relativa acumulada
2 a 4 3 0,20 0,60 0,20
4 a 6 5 0,40 2,00 =0,2+0,4=0,6
6 a 8 7 0,25 1,75 0,6+0,25=0,85
8 a 12 10 0,15 1,50 0,85+0,15=1
Total - 1 5,85 -
 
 
Em vermelho temos a média:
 
\overline X = 5,85
 
A mediana é o escore que corresponde à frequência acumulada de 50%. Nós sabemos que:
 
4 corresponde a F = 20%
D corresponde a F = 50%
6 corresponde a F = 60%
 
A interpolação linear nos diz que as diferenças entre tais linhas são proporcionais:
 
{D-4 \over 6-4} = {50-20 \over 60-20}
 
{D-4 \over 2} = {30 \over 40}
 
D = 4+{60 \over 40} = 5,5
 
A soma da média com a mediana fica:
 
5,85+5,5=11,35
 
Resposta: C

 Seja X a variável que representa o diâmetro de uma peça fabricada por uma metalúrgica. Sabe-se que X tem distribuição normal
com média 10 cm e variância 4 cm2. Toda peça cujo diâmetro se distanciar da média por menos do que 1,68 cm é considerada
boa. Três peças são selecionadas aleatoriamente e com reposição da distribuição de X. A probabilidade de exatamente uma ser
boa é igual a  
 
(A)  0,291
 
(B)  0,441
 
(C)  0,348
 
(D)  0,288
 
(E)  0,340
 
Comentários.
 
O escore da normal reduzida é dado por:
 
Z={X - \mu \over \sigma_X}
 
No caso extremo de X ser 1,68 cm maior que a média, temos:
 
Z_1 = {1,68 \over \sqrt {4}} = 0,84
 
No caso extremo de X ser 1,68 cm menor que a média, teremos o valor oposto, ou seja:
 
Z_2 = -0,84
 
Logo, a chance de uma peça ser considerada boa corresponde à chance de a normal reduzida assumir valores entre -0,84 e 0,84.
 
P(-0,84 < Z < 0,84)=?
 
A questão nos disse que:
 
P(Z < 0,84) = 80\%
 
Ou seja, a área à direita de 0,84 vale 80%. Trata-se da soma das áreas amarela e rosa abaixo:
 
 
\text{amarela + rosa} = 80\%
 
Para completar os 100%, concluímos que a área verde vale 20%.
 
\text{verde} = 20\%
 
Devido à simetria da figura, temos que a área rosa também vale 20%.
 
\text{rosa} = 20\%
 
Para completar 100%, temos que a área amarela vale 60%.
 
\text{amarela} = 60\%
 
Assim, a chance de uma peça boa é de 60%; a chance de peça ruim é 100\% - 60\% = 40\%.
 
Numa amostra de 3 peças, suponha a seguinte sequência:
 
Boa - ruim - ruim
 
A chance deste caso ocorrer fica:
 
0,6 \times 0,4 \times 0,4 = 0,096
 
Mas poderíamos ter várias outras sequências, tais como:
  • boa, ruim, ruim
  • ruim, boa, ruim
  • ruim, ruim, boa
 
São 3 sequências possíveis, cada uma com chance de 9,6%. Logo, a probabilidade total fica:
 
3 \times 9,6\% = 28,8\%
 
Resposta: D

39 -  Sabe-se que, em determinada cidade, o desvio padrão da altura de crianças da primeira série do ensino fundamental é 4 cm.
Uma  amostra  aleatória  de  tamanho  maior  do  que  30,  com  reposição,  de  n  crianças,  foi  colhida  do conjunto de  todas  essas
crianças e obteve-se um intervalo de confiança para a média desse conjunto dado por (129,02 cm; 130,98 cm) com coeficiente
de  confiança  de 95%.  Uma  nova  amostra  de tamanho  m será colhida  e deseja-se  que  a  amplitude  do  novo intervalo  seja a
metade daquela obtida com a amostra de tamanho n, com a mesma confiança. Nessas condições, o valor de m deverá ser igual a  
 
(A)  256
 
(B)  64
 
(C)  100
 
(D)  121
 
(E)  81
 
Comentários:
 
A primeira amplitude foi de:
 
130,98 - 129,02 = 1,96
 
A nova amplitude será metade disso, ou seja, de 1,96 \over 2
 
A amplitude "A" do intervalo de confiança é dada por:
 
A=2 \times Z_0 \times {\sigma \over \sqrt m}
 
Em que:
  • Z_0 é o escore da normal padrão associado ao nível de confiança desejado (para 95% de confiança, o escore vale 1,96)
  • m é o tamanho da amostra
  • \sigma é o desvio padrão populacional
 
Ficamos com
 
A=2 \times Z_0 \times {\sigma \over \sqrt m}
 
{\cancel {1,96} \over 2} = 2 \times \cancel {1,96} \times {4 \over \sqrt m}
 
\sqrt m = 4 \times 2 \times 2
 
\sqrt m = 16
 
m=16^2 = 256
 
Resposta: A

40) A tabela a seguir indica o valor y do salário, em número de salários mínimos (SM) e os respectivos tempos de serviço, em anos,
x, de 5 funcionários de uma empresa:
 
...
 
 
Comentários.
 
Primeiro calculamos as médias de "X" e "Y":
 
\overline X = {2+3+5+3+2 \over 5} = 3
 
\overline Y = {3+4+7+4+2 \over 5}=4
 
Agora vamos ao cálculo da estimativa do coeficiente angular:
 
Valor de X Valor de Y (X - \overline X) Y - \overline Y (X - \overline X)^2 (X - \overline X ) \times (Y - \overline Y)
2 3 -1 -1 1 1
3 4 0 0 0 0
5 7 2 3 4 6
3 4 0 0 0 0
2 2 -1 -2 1 2
Total 6 9
 
b={\sum (X - \overline X) \times (Y - \overline Y) \over \sum (X - \overline X)^2}
 
b={9 \over 6}
 
b=1,5
 
A estimativa do coeficiente linear fica:
 
a = \overline Y - b \overline X
 
a=4-1,5 \times 3
 
a=-0,5
 
A reta calculada fica:
 
Y = a+bX
 
Y = -0,5+1,5X
 
Fazendo X=4:
 
Y = -0,5+1,5 \times 4 = 5,5
 
Resposta: A
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