FCC - Questão de juros simples

por Vítor Menezes em 16/11/2016
Recebi por e-mail o seguinte pedido, formulado pela Micheli, aluna do TEC:
 
Eu gostaria de pedir pro Prof. Vitor Menezes uma solução alternativa para a questão abaixo:
https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/253342

E se possível, simplificada (se houver).

Imensamente grata.

Micheli
 
 
A questão em apreço é da FCC, e traz uma interessante forma de cobrança do tema "juros simples".
 
 Dois capitais, cuja soma é igual a R$ 6.300,00, foram aplicados por 5 meses a juro simples, o primeiro à taxa de 5% ao mês e o segundo à taxa de 6% ao mês. Ao final do prazo, a soma de seus montantes era igual a R$ 8.000,00. O menor desses capitais é
a) R$ 2.350,00
b) R$ 2.180,00
c) R$ 2.500,00
d) R$ 3.800,00
e) R$ 3.100,00
 
Micheli, quando você fala em "solução simplificada", podemos interpretar de duas formas:
 
(i) simples de entender - geralmente é a solução que vai direto para as fórmulas usadas em matemática financeira. É a solução estilo "receita de bolo".
 
(ii) simples de executar no dia da prova (ou seja, solução mais rápida, com menos contas) - geralmente exige um domínio maior de matemática financeira.
 
Vamos apresentar as duas formas.
 
1) Solução mais rápida
 
Seja C_a a parte aplicada à taxa de 6% ao mês e seja C_b a parte aplicada à taxa de 5% ao mês.
 
Se todo o capital de R$ 6.300,00 fosse aplicado a juros simples de 5%, durante 5 meses, os juros seriam de:
 
J=niC
 
J=5 \times 0,05 \times 6.300
 
J=1.575
 
E o montante final seria de:
 
M=C+J
 
M=6.300+1.575=7.875
 
Só que isto está errado. Sabemos que o montante correto é de R$ 8.000,00. Há uma diferença de:
 
8.000-7.875=125
 
Esta diferença ocorreu porque, na verdade, a parte C_a estava aplicada a 6% ao mês. E na solução acima consideramos que o capital inteiro estava aplicado a 5%.
 
Portanto, faltou incidir 1% sobre C_a, durante 5 meses. Os juros correspondentes terão que dar exatamente 125, para cobrir a diferença acima calculada.
 
125=5 \times 1\% \times C_a
 
C_a={125 \over 0,05}=2.500
 
O capital C_a, que foi aplicado à taxa de 6% ao mês, corresponde a R$ 2.500,00. A outra parte (C_b) corresponde a:
 
C_b=6.300-2.500=3.800
 
O menor dos capitais vale R$ 2.500,00. Resposta: C
 
2) Solução "receita de bolo".
 
O capital C_a é aplicado durante 5 meses, à taxa de 6% ao mês. O montante assim produzido é de:
 
M_a = C_a \times (1+0,06 \times 5)
 
M_a = 1,3C_a
 
O capital C_b é aplicado durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. O montante assim produzido é de:
 
M_b = C_b \times (1+5 \times 0,05)
 
M_b=1,25 C_b
 
O montante total vale 8.000:
 
M_a+M_b=8.000
 
1,3C_a+1,25C_b=8.000... (equação I)
 
Sabemos ainda que a soma dos capitais vale 6.300:
 
C_a+C_b=6.300
 
C_b=6.300-C_a ...(equação II)
 
Substituindo II em I:
 
1,3C_a+1,25 \times (6.300-C_a) = 8.000
 
1,3C_a+7.875 - 1,25C_a = 8.000
 
0,05C_a = 8.000-7.875
 
C_a= {125 \over 0,05}=2.500
 
Resposta: C
 
 
 
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