RLQ – AFRFB 2012 – parte 2

24 set 2012

Continuando com a resolução da prova de RLQ do AFRFB 2012. Vamos para as 10 últimas questões da prova.

Encontrei falhas na questão 12. Do mesmo modo como já alertei no meu artigo anterior, a chance de provimento de recurso é baixa, pois trata-se de uma imprecisão corrente em provas de concursos. Só que aqui a chance de sucesso é um pouquinho maior, porque já houve ao menos uma vez em que, num caso desses, a banca (na ocasião, o CESPE) aceitou o recurso.

11 – A expectância de uma variável aleatória x ─ média ou esperança matemática como também é chamada ─ é igual a 2, ou seja: E(x) = 2. Sabendo-se que a média dos quadrados de x é igual a 9, então os valores da variância e do coeﬁciente de variação de x são,respectivamente, iguais a

a) $5$ e $\sqrt 5 \div 2$

b) $5$ e $\sqrt 5$

c) $\sqrt 5$ e $\sqrt 2 \div 5$

d) $\sqrt 5$ e $2 \div \sqrt 5$

e) $\sqrt 5 \div 2$ e $5$

Resolução:

A variância é a diferença entre a esperança do quadrado e o quadrado da esperança:

$V(X)=E(X^2) - [E(X)]^2$

$V(X) = 9 - 2^2 = 5$

A variância é 5. Logo, o desvio padrão é igual a $\sqrt 5$ , pois o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

Finalmente, o coeficiente de variação é igual à divisão entre desvio padrão e média:

$CV= \sigma_ X \div E(X)$

$CV = {\sqrt 5 \over 2}$

Resposta: A

12- Em uma cidade de colonização alemã, a probabilidade de uma pessoa falar alemão é de 60%. Selecionando-se ao acaso 4 pessoas desta cidade, a probabilidade de 3 delas não falarem alemão é, em valores percentuais, igual a
a) 6,4.
b) 12,26.
c) 15,36.
d) 3,84.
e) 24,5.

Resolução

Para chegarmos à resposta pretendida pela banca, temos que considerar que pede-se a probabilidade de exatamente 3 das 4 pessoas não falarem alemão.

Nesse caso, temos uma distribuição binomial, de parâmetros $n=4$ (pois são 4 pessoas analisadas) e $p=0,4$ (chance de sucesso = chance de uma pessoa não falar alemão). Queremos 3 sucessos em 4 experimentos. Logo:

$P(X=3) = {4 \choose 3} \times 0,4^3 \times (1-0,4)^{4-3}$

$P(X=3) =4 \times 0,064 \times 0,6 = 15,36%$

Resposta: C

Essa era a solução pretendida pela banca. No entanto, ao dizer simplesmente "calcule a probabilidade de 3 pessoas não falarem alemão", isso inclui o caso em que:

exatamente 3 pessoas não falam alemão
exatamente 4 pessoas não falam alemão

Oras, se 4 não falam alemão, então é correto afirmar que 3 não falam. Logo, à probabilidade de 15,36% acima calculada, temos que adicionar a chance de as 4 não falarem alemão. Tal chance é de:

$P(X=4) = {4 \choose 4} \times 0,4^4 \times 0,6^0 =2,56%]$

Então a resposta correta seria:

$15,36%+2,56%=17,92%$

A questão deve ser anulada por não ter resposta correta.

Finalizando:

a questão não tem resposta correta, deve ser anulada
contudo, esse tipo de imprecisão é extremamente comum em provas, raríssimas vezes vi uma banca alterar seu gabarito por conta disso;
se serve de esperança, já ví o Cespe alterando um gabarito seu (de certo para errado) por conta exatamente desse tipo de imprecisão

13- Em um concurso público, a nota média da prova de inglês foi igual a 7 com desvio-padrão igual a 2. Por outro lado, a nota média da prova de lógica foi igual a 7,5 com desvio-padrão igual a 4. Naná obteve nota 8 em Inglês e nota 8 em Lógica. Nené obteve nota 7,5 em Inglês e 8,5 em Lógica. Nini obteve 7,5 em Inglês e 9 em Lógica. Com relação à melhor posição relativa ─ ou ao melhor desempenho ─, pode-se aﬁrmar que o desempenho de
a) Naná foi o mesmo em Inglês e Lógica.
b) Nini foi melhor em Lógica do que o de Naná em Inglês.
c) Nené foi melhor em lógica do que o de Naná em Inglês.
d) Nené foi o mesmo em Inglês e Lógica.
e) Nené foi melhor em Lógica do que em Inglês.

Resolução

Para comparar os desempenhos, temos que padronizar as notas. É o mesmo raciocínio que usamos para calcular a variável normal padrão (Z). Subtraímos a variável original da média, e dividimos pelo desvio padrão.

	Inglês		Lógica
	Nota original	Nota padronizada	Nota original	Nota padronizada
Nana	$8$	${8-7 \over 2}=0,5$	$8$	$8-7,5 \over 4}=0,125$
Nene	$7,5$	$7,5-7 \over 2}=0,25$	$8,5$	$8,5-7,5 \over 4} = 0,25$
Nini	$7,5$	$7,5-7 \over 2}=0,25$	$9,5$	$9,5-7,5 \over 4} = 0,5$

O desempenho de Nana foi melhor em inglês que em lógica (0,5 > 0,125). Incorreta a letra "A".

O desempenho de Nini em lógica (0,5) foi igual ao de Nana em Inglês (0,5). Incorreta a letra "B".

O desempenho de Nene em Lógica (0,25) foi pior que o de Nana em inglês (0,5). Incorreta a letra "C".

O desempenho de Nene foi o mesmo em lógica e em inglês (0,25 = 0,25). Certa a letra "D". E incorreta a letra "E".

Resposta: D

14- Um modelo de regressão linear múltipla foi estimado pelo método de Mínimos Quadrados, obtendo-se, com um nível de conﬁança de 95%, os seguintes resultados:
I. $\hat Y = 10 + 2,5 x_1 + 0,3 x_2 + 2 x_3$
II. o coeﬁciente de determinação $R^2$ é igual a 0,9532
III. o valor-p = 0,003
Desse modo, pode-se aﬁrmar que:

a) se a variável $x_1$ for acrescida de uma unidade, então Y terá um acréscimo de 2,5 %.
b) 0,003 é o mais baixo nível de signiﬁcância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada.
c) $x_3$ explica 95,32% das variações de Y em torno de sua média.
d) as probabilidades de se cometer o Erro Tipo I e o Erro Tipo II são, respectivamente, iguais a 5% e 95%.
e) se no teste de hipóteses individual para $\beta_2$ se rejeitar a hipótese nula (H0), então tem-se fortes razões para acreditar que $x_2$ não explica Y.

Resolução

Alternativa A – INCORRETA. Vejam que o coeficiente de $x_1$ é igual a 2,5. Logo, se $x_1$ aumentar uma unidade (e as demais variáveis independentes não se alterarem), então $\hat Y$ terá acréscimo de 2,5 (e não de 2,5%).

Alternativa B – CORRETA. Quando o nível de significância é maior que o p-valor, rejeitamos a hipótese nula. Logo, se o nível de significância for maior que 0,003, rejeitamos a hipótese nula. Por outro lado, quando o nível de significância é menor que o p-valor, aceitamos a hipótese nula.

Na situação limite, quando o nível de significância é igual ao p-valor, a estatística teste cai dentro da região crítica, e rejeitamos a hipótese nula. Deste modo, realmente, o menor nível de significância que resulta em rejeição da hipótese nula é 0,003.

Alternativa C – INCORRETA. O coeficiente de determinação indica que o modelo de regressão múltipla (e não apenas $x_3$ ) explica 95,32% da soma e quadrados total.

Alternativa D – INCORRETA. Não foram dadas quaisquer informações que nos permitam calcular as probabilidades dos dois tipos de erro.

Alternativa E – INCORRETA. A hipótese nula para $\beta$ é a de que ele vale 0. Se rejeitamos a hipótese nula, então é porque os dados nos indicam que $\beta$ deve ser diferente de 0. Se é diferente de 0, não podemos dizer que $x_2$ não explica Y.

Resposta: B

15- O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem há muito tempo acompanhando os dados sobre custos e faturamento do restaurante de sua ﬁlha Cecília. O restaurante funciona todos os dias da semana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo diário do restaurante segue uma distribuição normal, com média igual a R$ 500,00 e desvio- padrão igual a R$ 10,00 e que o faturamento diário, também, apresenta uma distribuição normal, com média R$ 800 e desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito bem os princípios básicos da estatística, ele sabe que, se uma variável Z seguir uma distribuição normal padrão, então Z tem média 0 e variância 1. Ele também sabe que a probabilidade dessa variável Z assumir valores no intervalo entre 0 < Z < 2 ─ ou seja, entre a média 0 e 2 desvios-padrão ─ é, aproximadamente, igual a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o futuro de seu restaurante, perguntou a seu pai se ele poderia veriﬁcar a probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 520,00 e o faturamente ﬁcar no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em termos percentuais, iguais a
a) 2,28; 95,44.
b) 52,28; 95,44.
c) 2,28; 98,69.
d) 98,69; 95,44.
e) 98,65; 2,28.

Resolução:

1) Chance de o custo ser maior que 520.

O custo segue distribuição normal com média 500 e desvio padrão 10. A variável normal reduzida fica:

$Z={X- \mu \over \sigma}$

Quando $X = 520$ , temos:

$Z = {520-500 \over 10}=2$

Assim:

$P(X>520) = P(Z>2)$

O enunciado nos informou que a chance de Z estar entre 0 e 2 é de 0,4772. Logo, a área cinza da figura abaixo (que apresenta a função densidade da normal padrão) é igual a 0,4772.

Como a área a direita de 0 é 50% (pois a função densidade é simétrica em torno de 0), concluímos que a área amarela é de: $0,5-0,4472=2,28%$

Portanto:

$P(X>520) = P(Z>2) = 2,28%$

A chance de o custo ser maior que 520 é de 2,28%.

2) Chance de o faturamento ficar entre 760 e 840.

O faturamento segue distribuição normal com média 800 e desvio padrão 20. A normal reduzida fica:

$Z={X- \mu \over \sigma}$

Quando X = 760, Z vale:

$Z = {760 - 800 \over 20} = -2$

Quando X = 840, Z vale:

$Z = {840 - 800 \over 20} = 2$

Logo:

$P(760<X<840) = P(-2<Z<2)$

Se a área entre 0 e 2 é de 0,4772, então a área entre -2 e 2 é o dobro deste valor:

$P(760<X<840+ 2 \times 0,4772=0,9544$

A chance de o faturamento ficar no intervalo indicado é de 95,44%.

Resposta: A

16- Os catetos de um triângulo retângulo medem,respectivamente, z metros e (w – 2) metros. Sabendo-se que o ângulo oposto ao cateto que mede (w – 2) metros é igual a um ângulo de 45º , então o perímetro desse triângulo, em metros, é igual a
a) $z \sqrt 2 (w - 2).$
b) $zw(2-\sqrt 2)$
c) $z w (2 + \sqrt 2 ).$
d) $(z + w) (z + w \sqrt 2 ).$
e) $z (2 + \sqrt 2 ).$

Resolução:

Um dos ângulos do triângulo retângulo é 90º. É isso que faz dele um triângulo retângulo (possuir um ângulo reto). O outro ângulo vale 45º (dado na questão). Seja $\theta$ o ângulo restante. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º:

$90+45+ \theta = 180$

$\theta = 180-90-45 = 45$

O ângulo restante é de 45º.

Se o triângulo tem dois ângulos de 45º (iguais entre si), então ele é isósceles. Isso significa que seus dois catetos têm a mesma medida:

$z=w-2$

Num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Seja $x$ a medida da hipotenusa.

$x^2=z^2+z^2$

$x^2=2z^2$

$x=z \sqrt 2$

O perímetro corresponde à soma das medidas dos lados:

$z+z+x=z+z+z \sqrt 2 = z \times (2+ \sqrt 2)$

Resposta: E

17- Uma sequência de números $k_1, \, k_2, k_3, \, k_4, \, \cdots , \, k_n$ é denominada Progressão Geométrica ─ PG ─ de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p – 2); p; e (p + 3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a
a) (6 – p); 2/3; 21.
b) (p +6); 3/2; 19.
c) 6; (6 – p); 21.
d) (6 – p); 3/2; 19.
e) (p – 6); p; 20.

Resolução

Os números inicialmente fornecidos são:

$p-2$ , $p$ e $p+3$

Somando uma constante $x$ a cada um deles, temos:

$p+x-2$ , $p+x$ e $p=x+3$

Para simplificar a escrita, seja $z=p+x$ . Então nossa PG fica:

$z-2$ , $z$ e $z+3$

Se esses termos formam uma PG, então a razão entre dois termos seguidos é constante:

${z \over z-2} = {z+3 \over z}$

$z^ \times z= (z+3) \times (z-2)$

$z^2 = z^2+3z-2z-6$

$z^2-z^2+z-6=0$

$z=6$

Lembrando que $z=p+x$

$p+x=6 \to x=6-p$

A PG fica:

$z-2=6-2 = 4$

$z = 6$

$z+3=6+3=9$

A razão da PG é igual à divisão entre dois termos seguidos:

$r=6 \div 4 = 1,5$

A soma dos termos da PG fica:

$4+6+9=19$

Resposta: D

18- Luca vai ao shopping com determinada quantia. Com essa quantia, ele pode comprar 40 lápis ou 30 canetas. Luca, que sempre é muito precavido, guarda 10% do dinheiro para voltar de ônibus. Sabendo que Luca comprou 24 lápis, então o número de canetas que Luca pode comprar, com o restante do dinheiro, é igual a
a) 9.
b) 12.
c) 6.
d) 18.
e) 15.

Resolução:

Vamos jogar valores para facilitar. Suponha que Lucas tivesse consigo 120 reais. Usamos 120 porque é múltiplo de 40 e de 30.

Com essa quantia, ele pode comprar 40 lápis. Logo, cada lápis custa R$ 3,00.

Com essa quantia de R$ 120,00, ele também pode comprar 30 canetas. Portanto, cada caneta custa R$ 4,00.

Sabe-se ainda que lucas reservou 10% dos R$ 120,00 (o que corresponde a R$ 12,00), para pagar ônibus.

Sobrou então:

$120-12 = 108$

Ele comprou 24 lápis. Logo, gastou: $24 \times 3 = 72$ . Gastou R$ 72,00.

Assim, da quantia de R$ 108,00 disponível, sobrou: $108-72=36$

Cada caneta custa R$ 4,00. Quantas canetas compramos com R$ 36,00?

$36 \div 4 = 9$

É possível comprar 9 canetas.

Resposta: A

19- No sistema de juros simples, um capital foi aplicado a uma determinada taxa anual durante dois anos. O total de juros auferidos por esse capital no ﬁnal do período foi igual a R$ 2.000,00. No sistema de juros compostos, o mesmo capital foi aplicado durante o mesmo período, ou seja, 2 anos, e a mesma taxa anual. O total de juros auferidos por esse capital no ﬁnal de 2 anos foi igual a R$ 2.200,00. Desse modo, o valor do capital aplicado, em reais, é igual a

a) 4.800,00.
b) 5.200,00.
c) 3.200,00.
d) 5.000,00.
e) 6.000,00.

Resolução:

Sejam $C$ o capital, $i$ a taxa de juros anual, $n$ o número de anos, $M_s$ o montante no regime simples e $M_c$ o montante no regime composto. Sejam ainda $J_s$ os juros do regime simples e $J_c$ os juros do regime composto.

No regime simples, temos:

$J_s = C \times i \times n$

$2.000 = C \times i \times 2$

$C \times i = 1.000$ … (I)

No regime composto, temos:

$M_c= C \times (1+i)^n$

Lembrando que o montante é igual à soma entre capital e juros:

$C+J_c = C \times (1+i)^2$

Os juros valem 2.200:

$C+2.200 = C \times (1+2i+ i^2)$

$C+2.200 = C +2iC + Ci^2$

Simplificando C com C:

$2.200=2iC + Ci^2$

$2.200=2 \times (Ci)+ (Ci) \times i$ … (II)

Substituindo (I) em (II):

$2.200 = 2 \times 1.000 + 1.000 \times i$

$200=1.000 i$

$i = 200 \div 1.000 = 20%$

Voltando em (I):

$Ci = 1.000$

$C \times 0,2 = 1.000$

$C = 1.000 \div 0,2 = 5.000$

Resposta: D

20- A taxa cobrada por uma empresa de logística para entregar uma encomenda até determinado lugar é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda. Ana, que utiliza, em muito, os serviços dessa empresa, pagou para enviar uma encomenda de 25kg uma taxa de R$ 54,00. Desse modo, se Ana enviar a mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 16kg e 9kg, ela pagará o valor total de

a) 54,32.
b) 54,86.
c) 76,40.
d) 54.
e) 75,60

Resolução:

Seja $x$ a taxa paga e $p$ o peso. Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre elas é constante.

No caso, $x$ é diretamente proporcional a $\sqrt p$ . A constante de proporcionalidade fica:

$x \over \sqrt p } = {54 \over \sqrt {25}} = {54 \over 5} = 10,8$

Se o peso for de 16 kg, a taxa $x_1$ será tal que:

$x_1 \over \sqrt {16}} = 10,8 \to x_1 = 10,8 \times 4$

Se o peso for de 9 kg, a taxa $x_2$ será tal que:

$x_2 \over \sqrt {9}} = 10,8 \to x_2 = 10,8 \times 3$

O total pago fica:

$x_1+x_2 = 4 \times 10,8+3\times 10,8 = 7 \times 10,8=75,6$

Resposta: E