Resolução – Raciocínio Lógico – PM-BA – Com Recurso

22 jan 2020 | Atualizado em 03 de março de 2020

Boa tarde!

Neste artigo farei a correção da prova de Raciocínio Lógico do concurso para soldado da PM-BA, aplicada no dia 19/01/2020.

11) Observe a disjunção: “Marcelo não gosta de futebol ou Bruno não gosta de natação”, assinale a alternativa correta que apresenta a negação dessa disjunção.

a) Marcelo gosta de futebol e Bruno não gosta de natação

b) Marcelo gosta de futebol se e somente se Bruno gosta de natação

c) Ou Marcelo gosta de futebol ou Bruno gosta de natação

d) Marcelo gosta de futebol e Bruno gosta de natação

e) Marcelo não gosta de futebol e Bruno não gosta de natação

” Marcelo não gosta de futebol ou Bruno não gosta de natação ” é uma proposição composta do tipo:

\neg a \lor \neg b

Em que:

$a$ : Marcelo gosta de futebol
$b$ : Bruno gosta de natação

Negamos essa proposição composta aplicando a lei de Morgan. Negamos cada parcela e trocamos “ou” por “e”:

a \land b

Em palavras:

Marcelo gosta de futebol e Bruno gosta de natação

Gabarito: Letra D.

12) Em uma prateleira de uma biblioteca, deseja-se dispor 4 livros de maneiras distintas. Sabendo que a prateleira possui 10 espaços em que os livros podem ser colocados, assinale a alternativa que apresenta corretamente a quantidade de maneiras que esses livros podem ser dispostos nessa prateleira.

a) 3628800

b) 5040

c) 151200

d) 720

e) 24

Vamos alocar os 4 livros na prateleira.

Para o primeiro livro, existem 10 possibilidades, os 10 espaços disponíveis na prateleira.

Para o segundo livro existem 9 possibilidades, pois 1 dos espaços já foi ocupado pelo primeiro livro.

Para o terceiro livro existem 8 opções.

Para o quarto livro existem 7 opções.

1º livro	2º livro	3º livro	4º livro
10	9	8	7

Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), a quantidade de diferentes maneiras de alocar os 4 livros vale:

10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040

Gabarito: Letra B.

13) Uma loja de eletroeletrônicos decide realizar o sorteio de dois brindes para os clientes que comprarem um televisor. No total, 200 clientes realizaram a compra de televisor e concorreram aos brindes, sendo 120 mulheres e 80 homens. Considerando que ao ganhar um brinde não se pode concorrer a outro brinde, assinale a alternativa que apresenta corretamente a probabilidade de que os ganhadores sejam um homem e uma mulher.

a) 50/199

b) 1/4

c) 9/40

d) 48/199

e) 6/25

Encontramos a probabilidade dividnido os casos favoráveis (maneiras de escolher 1 mulher e 1 homem) pelos casos possíveis (todas as maneiras de escolher 2 pessoas). Seu cálculo, portanto, envolve duas questões de análise combinatória, uma para o numerador (cálculo do número de casos favoráveis) e uma para o denominador (cálculo de número de casos possíveis).

Muitas vezes nesses cálculos é indiferente considerar se a ordem de escolha importa ou não. O importante é manter a coerência, por exemplo, se no numerador consideramos que a ordem importa, então no denominador também devemos considerar que a ordem de escolha importa.

1^a solução: a ordem não importa.

A quantidade de casos favoráveis é o número de maneiras para escolher um homem e uma mulher.

Como a ordem não importa, podemos fixar a ordem de escolha, por exemplo, considerando que a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa escolhida é mulher.

Para a primeira escolha, temos 80 opções, pois são 80 homens.

1^a escolha	2^a escolha
80

Para a segunda escolha, temos 120 opções, as 120 mulheres.

1^a escolha	2^a escolha
80	120

Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) existem

80 \times 120

casos favoráveis.

O número de casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.

Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de

120 + 80 = 200

clientes.

Como a ordem não importa e não há reposição, estamos em um caso de combinação. O número de casos possíveis é dado pela combinação de 200 pessoas tomadas 2 a 2:

C_{200, 2} = \frac{200 \times 199}{2}

A probabilidade é dada pela divisão dos

80 \times 120

favoráveis com os

\frac{200 \times 199}{2}

casos possíveis:

\frac{80 \times 120}{\frac{200 \times 199}{2}}

Simplificando essa expressão, obtemos:

\frac{96}{199}

Não há alternativa correta e a questão devia ter sido anulada.

2^a solução: a ordem importa.

Casos favoráveis.

Primeiramente fixamos a ordem: a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa é mulher.

Vimos acima que as maneiras de realizar essa escolha vale

80 \times 120

Mas agora estamos considerando que a ordem de escolha importa, e temos um total de 2 ordens possíveis:

HM (primeira pessoa é homem e segunda pessoa é mulher)
MH (primeira pessoa escolhida é mulher e a segunda é homem)

Para cada uma dessas sequências há

80 \times 120

possibilidades, então para as duas sequências existem:

2 \times 80 \times 120

casos favoráveis.

Casos possíveis.

O número de casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.

Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de

120 + 80 = 200

clientes. Portanto, temos 200 maneiras de escolher a 1^a pessoa.

Para a escolha da segunda pessoa, restam

200 - 1 = 199

opções, já que 1 das 200 pessoas já foi escolhida.

Aplicando o PFC, são

200 \times 199

casos possíveis.

Probabilidade.

A probabilidade é dada pela divisão dos

2 \times 80 \times 120

casos favoráveis com os

200 \times 199

casos possíveis:

\frac{2 \times 120 \times 80}{200 \times 199}

Simplificando essa expressão, obtemos:

\frac{96}{199}

Gabarito preliminar: Letra D.

Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.

14) Considere a proposição:

“Todo pesquisador é estudioso.”

Assinale a alternativa que não apresenta uma negação da proposição anterior.

a) Existe algum pesquisador que não é estudioso

b) Algum pesquisador não é estudioso

c) Pelo menos um pesquisador não é estudioso

d) Existe pesquisador que não é estudioso

e) Nenhum pesquisador é estudioso

Temos a seguinte afirmação: “ Todo pesquisador é estudioso “.

Quando essa afirmação é falsa?

Quando houver pelo menos um pesquisador que não é estudioso.

Portanto, a negação da proposição do enunciado é “pelo menos um pesquisador não é estudioso”.

Essa opção está nas letras A, B, C e D:

Existe algum pesquisador que não é estudioso (letra A)

Algum pesquisador não é estudioso (letra B)

Pelo menos um pesquisador não é estudioso (letra C)

Existe pesquisador que não é estudioso (letra D)

Já a letra E ( Nenhum pesquisador é estudioso ) está incorreta.

Gabarito: Letra E.

Segunda solução.

A frase “ Todo pesquisador é estudioso ” significa que o conjunto de pesquisadores está contido no conjunto de pessoas que são estudiosas, e pode ser representada assim:

Em que a área hachurada representa a ausência de elementos na região.

Queremos negar essa proposição. Logo, há sim algum elemento na região anteriormente hachurada:

No diagrama acima, o “

x

” representa a existência de pelo menos um elemento na região.

Logo, existe pelo menos um pesquisador que não é estudioso. Estão corretas as letras A, B, C e D.

Na figura acima enumeramos as diferentes regiões do diagrama.

Não sabemos se a região 3 possui ou não elementos. Assim:

não podemos afirmar que existem pesquisadores que são estudiosos (ou seja, há elementos na região 3)
também não podemos afirmar que nenhum pesquisador é estudioso (região 3 sem elementos)

A alternativa E ( Nenhum pesquisador é estudioso ) está incorreta.

Gabarito: Letra E.

15) Analise a proposição composta a seguir.

“Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo”.

Assinale a alternativa que apresenta a negação dessa proposição composta.

a) Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo

b) Maria não viaja para o Rio de Janeiro e Fernando não viaja para São Paulo

c) Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo

d) Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo

e) Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo

“Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo” é um bicondicional do tipo:

a \leftrightarrow b

Em que:

$a$ : Maria viaja para o Rio de Janeiro
$b$ : Fernando viaja para São Paulo

Um bicondicional “

a \leftrightarrow b

” somente é verdadeiro quando as duas parcelas têm valores lógicos iguais.

Portanto, a negação de um bicondicional somente será verdadeira quando ocorrer o contrário: uma parcela é V e a outra é F.

Esse é o mesmo resultado da disjunção exclusiva “

a \underline{\lor} b

“: é verdadeira quando uma parcela é V e a outra é F. E o mesmo ocorre com a disjunção exclusiva

\neg a \underline{\lor} \neg b

Assim, as proposições “

\neg (a \leftrightarrow b)

” , “

a \underline{\lor} b

” e “

\neg a \underline{\lor} \neg b

” são equivalentes, possuem a mesma tabela verdade:

$a$	$b$	$\neg (a \leftrightarrow b)$	$a \underline{\lor} b$	$\neg a \underline{\lor} \neg b$
V	V	F	F	F
V	F	V	V	V
F	V	V	V	V
F	F	F	F	F

Vimos que a negação de bicondicional “

a \leftrightarrow b

” equivale a uma disjunção exclusiva exposta na letra C:

a \underline{\lor} b

Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo

Equivale também à disjunção exclusiva exposta na letra D:

\neg a \underline{\lor} \neg b

Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo

Há duas alternativas corretas e a questão deve ser anulada.

Gabarito preliminar: Letra C.

Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.

16) Observe as duas proposições P e Q apresentadas a seguir.

P: Ana é engenheira.

Q: Bianca é arquiteta.

Considere que Ana é engenheira somente se Bianca é arquiteta e, assinale a alternativa correta.

a) Ana ser engenheira não implica Bianca ser arquiteta

b) Ana ser engenheira é condição suficiente para Bianca ser arquiteta

c) Uma condição necessária para Bianca ser arquiteta é Ana ser engenheira

d) Ana é engenheira se e somente se Bianca não é arquiteta

e) Uma condição necessária para Bianca ser arquiteta é Ana não ser engenheira

No condicional, “se” aponta para o antecedente, e o “somente se” aponta para o consequente.

Portanto, a proposição:

Ana é engenheira somente se Bianca é arquiteta

Equivale a:

Se Ana é engenheira, então Bianca é arquiteta.

O antecedente (Ana é engenheira) é a condição suficiente, e o consequente (Bianca é arquiteta) é a condição necessária.

Aqui a dica para memorizar qual a condição suficiente é notar que, no conectivo “se … então”, a palavra “se”, que começa com a letra “s”, aponta para a condição suficiente, que também começa com “s”:

S e \underset{S uficiente}{\underset{⏟}{a}}

, então

b

S e \underset{S uficiente}{\underset{⏟}{Ana é engenheira}}

, então

Bianca é arquiteta

Está correta a letra B, Ana ser engenheira é condição suficiente para Bianca ser arquiteta.

Gabarito: Letra B.

17) Conjunções são proposições compostas em que há a presença do conectivo “e” e podem ser representadas pelo símbolo “^”. Sendo assim, assinale a alternativa correta.

a) Se P é verdadeira e Q é verdadeira, então P^Q é falsa

b) Se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa

c) Se P é falsa e Q é falsa, então P^Q é verdadeira

d) Se P é falsa e Q é verdadeira, então P^Q é verdadeira

e) P^Q só será verdadeira se P e Q forem falsas

A conjunção entre 2 proposições “

P

” e “

Q

” somente é verdadeira quando “

P

” e “

Q

” forem verdadeiros. É o que mostra a tabela verdade abaixo:

linha	$P$	$Q$	$P \land Q$
1	V	V	V
2	V	F	F
3	F	V	F
4	F	F	F

Vejamos as alternativas.

a) Se P é verdadeira e Q é verdadeira, então P^Q é falsa

Quando as parcelas são verdadeiras, a conjunção é verdadeira, como mostra a linha 1 da tabela acima.

b) Se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa

Correto. Quando existe parcela F, a conjunção é F.

Por exemplo, se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa.

c) Se P é falsa e Q é falsa, então P^Q é verdadeira

d) Se P é falsa e Q é verdadeira, então P^Q é verdadeira

Letras C e D incorretas, quando existe parcela F, a conjunção é F.

e) P^Q só será verdadeira se P e Q forem falsas

Falso, a conjunção somente é V quando ambas as parcelas forem verdadeiras.

Gabarito: Letra B.

18) Considere que os símbolos →, ↔, ^ e v representam os operadores lógicos “se…então”, “se e somente se”, “e” e “ou”, respectivamente. Analise as sentenças abaixo e dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F).

( ) (7 – 2 ÷ 2 = 5) v (3 > 2)

( ) (3 + 2 = 4) ↔ (1 > 3)

( ) (3 x 5 + 6 = 21) → (18 ÷ 3 – 1 = 7)

( ) (4 x 4 + 3 = 19) ^ (9 – 2 = 7)

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de cima para baixo.

a) V, V, F, V

b) F, V, F, V

c) V, V, V, F

d) V, F, F, V

e) V, V, F, F

( ) (7 – 2 ÷ 2 = 5) v (3 > 2)

Temos uma disjunção inclusiva, que é verdadeira quando pelo menos uma de suas parcelas é verdadeira.

A segunda parcela é V (pois de fato 3 é maior que 2). Isso basta para que a disjunção inclusiva seja V. Item verdadeiro.

( ) (3 + 2 = 4) ↔ (1 > 3)

Temos um bicondicional, que é V quando ambas as parcelas possuem o mesmo valor lógico (ambas V ou ambas F).

No caso, ambas as parcelas são F:

a primeira parcela é F, pois 3 mais 2 não é igual a 4
a segunda parcela também é F, pois 1 não é maior que 3

Como as duas parcelas são F, o bicondicional é V. Item verdadeiro.

( ) (3 x 5 + 6 = 21) → (18 ÷ 3 – 1 = 7)

Um condicional somente é F quando o antecedente é V e o consequente é F.

É esse o caso em questão:

o antecedente é V, pois 3 vezes 5 é igual a 15, que somado com 6 é igual a 21
o consequente é F, pois 18 dividido por 3 vale 6, que subtraído com 1 vale 5, resultado diferente de 7.

Temos antecedente V e consequente F. Nesse caso, o condicional é F. Item falso.

( ) (4 x 4 + 3 = 19) ^ (9 – 2 = 7)

Uma conjunção somente é V quando ambas as parcelas são V, o que é o caso em questão.

A primeira parcela é V, de fato 4 vezes 4 mais 3 é igual a 19.

A segunda parcela também é V, pois 9 menos 2 realmente vale 7.

Como ambas as parcelas são V, a conjunção é V. Item verdadeiro.

Gabarito: Letra A.

É isso, pessoal. Espero que tenham feito uma boa prova. Abraços!