Resolução – Raciocínio Lógico – PM-BA – Com Recurso
Por: Gustavo Santana
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Atualizado em
Boa tarde! Neste artigo farei a correção da prova de Raciocínio Lógico do concurso para soldado da PM-BA, aplicada no dia 19/01/2020.
11) Observe a disjunção: “Marcelo não gosta de futebol ou Bruno não gosta de natação”, assinale a alternativa correta que apresenta a negação dessa disjunção.
a) Marcelo gosta de futebol e Bruno não gosta de natação
b) Marcelo gosta de futebol se e somente se Bruno gosta de natação
c) Ou Marcelo gosta de futebol ou Bruno gosta de natação
d) Marcelo gosta de futebol e Bruno gosta de natação
e) Marcelo não gosta de futebol e Bruno não gosta de natação
” Marcelo não gosta de futebol ou Bruno não gosta de natação ” é uma proposição composta do tipo:
¬a∨¬b¬a∨¬b
Em que:
- aa: Marcelo gosta de futebol
- bb: Bruno gosta de natação
Negamos essa proposição composta aplicando a lei de Morgan. Negamos cada parcela e trocamos “ou” por “e”:
a∧ba∧b
Em palavras:
Marcelo gosta de futebol e Bruno gosta de natação
Gabarito: Letra D.
12) Em uma prateleira de uma biblioteca, deseja-se dispor 4 livros de maneiras distintas. Sabendo que a prateleira possui 10 espaços em que os livros podem ser colocados, assinale a alternativa que apresenta corretamente a quantidade de maneiras que esses livros podem ser dispostos nessa prateleira.
a) 3628800
b) 5040
c) 151200
d) 720
e) 24
Vamos alocar os 4 livros na prateleira.
Para o primeiro livro, existem 10 possibilidades, os 10 espaços disponíveis na prateleira.
Para o segundo livro existem 9 possibilidades, pois 1 dos espaços já foi ocupado pelo primeiro livro.
Para o terceiro livro existem 8 opções.
Para o quarto livro existem 7 opções.
| 1º livro | 2º livro | 3º livro | 4º livro |
| 10 | 9 | 8 | 7 |
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), a quantidade de diferentes maneiras de alocar os 4 livros vale:
10×9×8×7=5.04010×9×8×7=5.040
Gabarito: Letra B.
13) Uma loja de eletroeletrônicos decide realizar o sorteio de dois brindes para os clientes que comprarem um televisor. No total, 200 clientes realizaram a compra de televisor e concorreram aos brindes, sendo 120 mulheres e 80 homens. Considerando que ao ganhar um brinde não se pode concorrer a outro brinde, assinale a alternativa que apresenta corretamente a probabilidade de que os ganhadores sejam um homem e uma mulher.
a) 50/199
b) 1/4
c) 9/40
d) 48/199
e) 6/25
Encontramos a probabilidade dividnido os casos favoráveis (maneiras de escolher 1 mulher e 1 homem) pelos casos possíveis (todas as maneiras de escolher 2 pessoas). Seu cálculo, portanto, envolve duas questões de análise combinatória, uma para o numerador (cálculo do número de casos favoráveis) e uma para o denominador (cálculo de número de casos possíveis).
Muitas vezes nesses cálculos é indiferente considerar se a ordem de escolha importa ou não. O importante é manter a coerência, por exemplo, se no numerador consideramos que a ordem importa, então no denominador também devemos considerar que a ordem de escolha importa.
1a solução: a ordem não importa.
A quantidade de casos favoráveis é o número de maneiras para escolher um homem e uma mulher.
Como a ordem não importa, podemos fixar a ordem de escolha, por exemplo, considerando que a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa escolhida é mulher.
Para a primeira escolha, temos 80 opções, pois são 80 homens.
| 1a escolha | 2a escolha |
| 80 |
Para a segunda escolha, temos 120 opções, as 120 mulheres.
| 1a escolha | 2a escolha |
| 80 | 120 |
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) existem 80×12080×120 casos favoráveis.
O número de casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.
Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de 120+80=200120+80=200 clientes.
Como a ordem não importa e não há reposição, estamos em um caso de combinação. O número de casos possíveis é dado pela combinação de 200 pessoas tomadas 2 a 2:
C200,2=200×1992C200,2=200×1992
A probabilidade é dada pela divisão dos 80×12080×120 favoráveis com os 200×1992200×1992 casos possíveis:
80×120200×199280×120200×1992
Simplificando essa expressão, obtemos:
9619996199
Não há alternativa correta e a questão devia ter sido anulada.
2a solução: a ordem importa.
Casos favoráveis.
Primeiramente fixamos a ordem: a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa é mulher.
Vimos acima que as maneiras de realizar essa escolha vale 80×12080×120.
Mas agora estamos considerando que a ordem de escolha importa, e temos um total de 2 ordens possíveis:
- HM (primeira pessoa é homem e segunda pessoa é mulher)
- MH (primeira pessoa escolhida é mulher e a segunda é homem)
Para cada uma dessas sequências há 80×12080×120 possibilidades, então para as duas sequências existem:
2×80×1202×80×120 casos favoráveis.
Casos possíveis.
O número de casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.
Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de 120+80=200120+80=200 clientes. Portanto, temos 200 maneiras de escolher a 1a pessoa.
Para a escolha da segunda pessoa, restam 200−1=199200−1=199 opções, já que 1 das 200 pessoas já foi escolhida.
Aplicando o PFC, são 200×199200×199 casos possíveis.
Probabilidade.
A probabilidade é dada pela divisão dos 2×80×1202×80×120 casos favoráveis com os 200×199200×199 casos possíveis:
2×120×80200×1992×120×80200×199
Simplificando essa expressão, obtemos:
9619996199
Gabarito preliminar: Letra D.
Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.
14) Considere a proposição:
“Todo pesquisador é estudioso.”
Assinale a alternativa que não apresenta uma negação da proposição anterior.
a) Existe algum pesquisador que não é estudioso
b) Algum pesquisador não é estudioso
c) Pelo menos um pesquisador não é estudioso
d) Existe pesquisador que não é estudioso
e) Nenhum pesquisador é estudioso
Temos a seguinte afirmação: “ Todo pesquisador é estudioso “.
Quando essa afirmação é falsa?
Quando houver pelo menos um pesquisador que não é estudioso.
Portanto, a negação da proposição do enunciado é “pelo menos um pesquisador não é estudioso”.
Essa opção está nas letras A, B, C e D:
Existe algum pesquisador que não é estudioso (letra A)
Algum pesquisador não é estudioso (letra B)
Pelo menos um pesquisador não é estudioso (letra C)
Existe pesquisador que não é estudioso (letra D)
Já a letra E ( Nenhum pesquisador é estudioso ) está incorreta.
Gabarito: Letra E.
Segunda solução.
A frase “ Todo pesquisador é estudioso ” significa que o conjunto de pesquisadores está contido no conjunto de pessoas que são estudiosas, e pode ser representada assim:
Em que a área hachurada representa a ausência de elementos na região.
Queremos negar essa proposição. Logo, há sim algum elemento na região anteriormente hachurada:
No diagrama acima, o “xx” representa a existência de pelo menos um elemento na região.
Logo, existe pelo menos um pesquisador que não é estudioso. Estão corretas as letras A, B, C e D.
Na figura acima enumeramos as diferentes regiões do diagrama.
Não sabemos se a região 3 possui ou não elementos. Assim:
- não podemos afirmar que existem pesquisadores que são estudiosos (ou seja, há elementos na região 3)
- também não podemos afirmar que nenhum pesquisador é estudioso (região 3 sem elementos)
A alternativa E ( Nenhum pesquisador é estudioso ) está incorreta.
Gabarito: Letra E.
15) Analise a proposição composta a seguir.
“Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo”.
Assinale a alternativa que apresenta a negação dessa proposição composta.
a) Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo
b) Maria não viaja para o Rio de Janeiro e Fernando não viaja para São Paulo
c) Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo
d) Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo
e) Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo
“Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo” é um bicondicional do tipo:
a↔ba↔b
Em que:
- aa: Maria viaja para o Rio de Janeiro
- bb: Fernando viaja para São Paulo
Um bicondicional “a↔ba↔b” somente é verdadeiro quando as duas parcelas têm valores lógicos iguais.
Portanto, a negação de um bicondicional somente será verdadeira quando ocorrer o contrário: uma parcela é V e a outra é F.
Esse é o mesmo resultado da disjunção exclusiva “a∨−−ba∨_b“: é verdadeira quando uma parcela é V e a outra é F. E o mesmo ocorre com a disjunção exclusiva ¬a∨−−¬b¬a∨_¬b.
Assim, as proposições “¬(a↔b)¬(a↔b)” , “a∨−−ba∨_b” e “¬a∨−−¬b¬a∨_¬b” são equivalentes, possuem a mesma tabela verdade:
| a a | b b | ¬(a↔b)¬(a↔b) | a∨−−ba∨_b | ¬a∨−−¬b¬a∨_¬b |
| V | V | F | F | F |
| V | F | V | V | V |
| F | V | V | V | V |
| F | F | F | F | F |
Vimos que a negação de bicondicional “a↔ba↔b” equivale a uma disjunção exclusiva exposta na letra C:
a∨−−ba∨_b.
Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo
Equivale também à disjunção exclusiva exposta na letra D:
¬a∨−−¬b¬a∨_¬b
Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo
Há duas alternativas corretas e a questão deve ser anulada.
Gabarito preliminar: Letra C.
Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.
16) Observe as duas proposições P e Q apresentadas a seguir.
P: Ana é engenheira.
Q: Bianca é arquiteta.
Considere que Ana é engenheira somente se Bianca é arquiteta e, assinale a alternativa correta.
a) Ana ser engenheira não implica Bianca ser arquiteta
b) Ana ser engenheira é condição suficiente para Bianca ser arquiteta
c) Uma condição necessária para Bianca ser arquiteta é Ana ser engenheira
d) Ana é engenheira se e somente se Bianca não é arquiteta
e) Uma condição necessária para Bianca ser arquiteta é Ana não ser engenheira
No condicional, “se” aponta para o antecedente, e o “somente se” aponta para o consequente.
Portanto, a proposição:
Ana é engenheira somente se Bianca é arquiteta
Equivale a:
Se Ana é engenheira, então Bianca é arquiteta.
O antecedente (Ana é engenheira) é a condição suficiente, e o consequente (Bianca é arquiteta) é a condição necessária.
Aqui a dica para memorizar qual a condição suficiente é notar que, no conectivo “se … então”, a palavra “se”, que começa com a letra “s”, aponta para a condição suficiente, que também começa com “s”:
Se aSuficienteSe a⏟Suficiente, então bb
Se Ana é engenheiraSuficienteSe Ana é engenheira⏟Suficiente, então Bianca é arquiteta
Está correta a letra B, Ana ser engenheira é condição suficiente para Bianca ser arquiteta.
Gabarito: Letra B.
17) Conjunções são proposições compostas em que há a presença do conectivo “e” e podem ser representadas pelo símbolo “^”. Sendo assim, assinale a alternativa correta.
a) Se P é verdadeira e Q é verdadeira, então P^Q é falsa
b) Se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa
c) Se P é falsa e Q é falsa, então P^Q é verdadeira
d) Se P é falsa e Q é verdadeira, então P^Q é verdadeira
e) P^Q só será verdadeira se P e Q forem falsas
A conjunção entre 2 proposições “PP” e “QQ” somente é verdadeira quando “PP” e “QQ” forem verdadeiros. É o que mostra a tabela verdade abaixo:
| linha | P P | Q Q | P∧Q P∧Q |
| 1 | V | V | V |
| 2 | V | F | F |
| 3 | F | V | F |
| 4 | F | F | F |
Vejamos as alternativas.
a) Se P é verdadeira e Q é verdadeira, então P^Q é falsa
Quando as parcelas são verdadeiras, a conjunção é verdadeira, como mostra a linha 1 da tabela acima.
b) Se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa
Correto. Quando existe parcela F, a conjunção é F.
Por exemplo, se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa.
c) Se P é falsa e Q é falsa, então P^Q é verdadeira
d) Se P é falsa e Q é verdadeira, então P^Q é verdadeira
Letras C e D incorretas, quando existe parcela F, a conjunção é F.
e) P^Q só será verdadeira se P e Q forem falsas
Falso, a conjunção somente é V quando ambas as parcelas forem verdadeiras.
Gabarito: Letra B.
18) Considere que os símbolos →, ↔, ^ e v representam os operadores lógicos “se…então”, “se e somente se”, “e” e “ou”, respectivamente. Analise as sentenças abaixo e dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F).
( ) (7 – 2 ÷ 2 = 5) v (3 > 2)
( ) (3 + 2 = 4) ↔ (1 > 3)
( ) (3 x 5 + 6 = 21) → (18 ÷ 3 – 1 = 7)
( ) (4 x 4 + 3 = 19) ^ (9 – 2 = 7)
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de cima para baixo.
a) V, V, F, V
b) F, V, F, V
c) V, V, V, F
d) V, F, F, V
e) V, V, F, F
( ) (7 – 2 ÷ 2 = 5) v (3 > 2)
Temos uma disjunção inclusiva, que é verdadeira quando pelo menos uma de suas parcelas é verdadeira.
A segunda parcela é V (pois de fato 3 é maior que 2). Isso basta para que a disjunção inclusiva seja V. Item verdadeiro.
( ) (3 + 2 = 4) ↔ (1 > 3)
Temos um bicondicional, que é V quando ambas as parcelas possuem o mesmo valor lógico (ambas V ou ambas F).
No caso, ambas as parcelas são F:
- a primeira parcela é F, pois 3 mais 2 não é igual a 4
- a segunda parcela também é F, pois 1 não é maior que 3
Como as duas parcelas são F, o bicondicional é V. Item verdadeiro.
( ) (3 x 5 + 6 = 21) → (18 ÷ 3 – 1 = 7)
Um condicional somente é F quando o antecedente é V e o consequente é F.
É esse o caso em questão:
- o antecedente é V, pois 3 vezes 5 é igual a 15, que somado com 6 é igual a 21
- o consequente é F, pois 18 dividido por 3 vale 6, que subtraído com 1 vale 5, resultado diferente de 7.
Temos antecedente V e consequente F. Nesse caso, o condicional é F. Item falso.
( ) (4 x 4 + 3 = 19) ^ (9 – 2 = 7)
Uma conjunção somente é V quando ambas as parcelas são V, o que é o caso em questão.
A primeira parcela é V, de fato 4 vezes 4 mais 3 é igual a 19.
A segunda parcela também é V, pois 9 menos 2 realmente vale 7.
Como ambas as parcelas são V, a conjunção é V. Item verdadeiro.
Gabarito: Letra A.
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Confira também o edital do concurso.
É isso, pessoal. Espero que tenham feito uma boa prova. Abraços!