Resolução da prova – ICMS RJ – Matemática Financeira

Por: Vítor Menezes

Oi pessoal. Liberaram hoje o pdf das provas do ICMS RJ. Inicio por matemática financeira. A resolução vai ser um pouco mais direta do que habitualmente faço, mas tenho aí uma quantidade grande de questões a percorrer (amanhã envio RLQ e estatística).
 
Uma instituição de ensino receberá R$ 10.000,00 por ano, como uma doação à perpetuidade. Considerando os juros efetivos de 12,5% ao ano, então o valor atual desta doação será igual a
 
(A) R$ 90.000,00 caso a doação seja antecipada.
(B) R$ 77.500,00 caso a doação seja postecipada.
(C) R$ 80.000,00 caso a doação seja antecipada.
(D) R$ 82.500,00 caso a doação seja postecipada.
(E) R$ 87.500,00 caso a doação seja antecipada.
 
Resolução:
 
Na renda perpétua “típica”, que é a postecipada, o valor atual (A) é dado por:
 
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Onde P é a prestação e “i” é a taxa de juros. Substituindo os valores:
 
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Vamos representar no diagrama de fluxo de caixa a situação da renda postecipada:
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E os pagamentos continuam indefinidamente, todos os anos.
 
Na renda antecipada, além destes mesmos pagamentos acima representados, temos uma entrada, na data 0, de valor R$ 10.000,00.
 
Logo, na renda antecipada, o valor atual será de 80.000,00 (correspondente ao valor presente da renda postecipada), somado com a entrada de 10.000,00. O valor atual será de 90.000,00.
 
Gabarito: A
 
32 – A aplicação de um capital sob o regime de capitalização simples, durante 10 meses, apresentou, no final deste prazo, um montante igual a R$ 15.660,00. A aplicação de um outro capital de valor igual ao dobro do valor do capital anterior sob o regime de capitalização simples, durante 15 meses, apresentou, no final deste prazo, um montante igual a R$ 32.480,00. Considerando que as duas aplicações foram feitas com a mesma taxa de juros, então a soma dos respectivos juros é igual a
(A) R$ 6.660,00
(B) R$ 3.480,00
(C) R$ 4.640,00
(D) R$ 5.600,00
(E) R$ 6.040,00
 
Primeira solução: mais demorada
 
Primeira aplicação:
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Segunda aplicação:
 
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Dividindo as duas equações:
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Simplificando 2 com 32.480:
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Simplificando numerador e denominador (dividindo ambos por 20):
 
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Multiplicando cruzado:
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Voltando em I, calculamos o valor do capital:
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O capital da segunda aplicação é o dobro disso:
 
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A soma dos capitais é:
 
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A soma dos montantes é:
 
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A diferença entre os dois valores nos dá a soma dos juros:
 
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Gabarito: C
 
Segunda solução: mais rápida
 
Primeira aplicação: capital C, durante 10 meses, gerando montante de 15.660
Segunda aplicação: capital 2C, durante 15 meses, gerando montante de 32.480
 
Se a segunda aplicação fosse de C reais (metade do valor original), o montante também seria reduzido pela metade. O montante seria de
 
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Assim, se tivéssemos duas aplicações de C reais, uma por 10 meses e outra por 15 meses, os montantes seriam 15.660 e 16.240.
 
A diferença entre eles corresponde justamente ao juro conseguido durante o período de 5 meses, que é a diferença de prazo entre as aplicações. Assim, o juro para 5 meses corresponde a:
 
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Com isso, acabamos de descobrir que o juro correspondente a uma aplicação de 5 meses do capital C é de R$ 580,00.
 
Na aplicação 1, tivemos 10 meses (10 meses é o dobro de 5 meses). Logo, o juro será de duas vezes 580:
 
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Esse é o juro da primeira aplicação.
 
Na aplicação 2, tivemos 15 meses (15 meses é o triplo de 5 meses). Logo, o juro será de três vezes 580:
 
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Lembrem-se ainda de que, na aplicação 2, o capital na verdade é 2C. Então o juro tem que ser dobrado:
 
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O juro total fica:
 
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Vejam como esta segunda resolução praticamente não exige contas.
 
33) 33. Um título é descontado em um banco 5 meses antes de seu vencimento com a utilização do desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 36% ao ano. Caso este título tivesse sido descontado com a utilização do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 36% ao ano, o correspondente valor atual superaria o valor atual anterior em R$ 517,50. O valor do desconto apurado com a utilização da operação de desconto racional simples é
 
(A) R$ 3.500,00
(B) R$ 3.300,00
(C) R$ 3.350,00
(D) R$ 3.400,00
(E) R$ 3.450,00
 
Taxa de desconto mensal:
 
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Bastou dividir a taxa anual por 12.
 
Valor atual para desconto comercial:
 
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Valor atual para desconto racional:
 
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A diferença entre ambos é de 517,50:
 
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Lembrando que existe uma relação entre tais descontos. Ela é a seguinte:
 
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Portanto:
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O número de períodos é de 5 meses e a taxa de desconto é de 3% ao mês.
 
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Gabarito: E
 
34. Um capital aplicado sob o regime de capitalização composta, durante 1 semestre, apresentou, no final deste prazo, um total de juros de R$ 580,00. Caso esse capital fosse aplicado sob o regime de capitalização composta, durante 1 ano, apresentaria no final deste prazo um total de juros de R$ 1.183,20. Sabe-se que em ambos os casos considerou-se a taxa de i ao semestre (i > 0 ). Um outro capital, no valor de R$ 15.000,00, aplicado, durante 1 ano, sob o regime de capitalização composta a uma taxa de i ao semestre, apresentará no final deste prazo um montante de
 
(A) R$ 16.242,00
(B) R$ 16.200,00
(C) R$ 16.212,00
(D) R$ 16.224,00
(E) R$ 16.236,00
 
Primeira aplicação:
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A diferença entre montante e capital é o juro:
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Segunda aplicação:
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A diferença entre montante e capital é o juro:
 
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Lembrando que o produto de C por i é 580:
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Finalmente, se aplicarmos 15.000,00 a uma taxa de 4% ao semestre, durante 2 semestres, teremos o montante de:
 
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Gabarito: D
 
35. Sabe-se que um capital é aplicado, durante 2 meses e 12 dias, à taxa de juros compostos de 2% ao mês. Utilizando a convenção linear, obteve-se que, no final do prazo de aplicação, o valor dos juros simples correspondente ao período de 12 dias foi igual a R$ 104,04.
Este mesmo capital, aplicado durante 2 bimestres, a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, apresentará no final do período um total de juros igual a
 
(A) R$ 877,20
(B) R$ 1.020,00
(C) R$ 959,60
(D) R$ 938,40
(E) R$ 897,60
 
Montante na convenção linear:
 
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Onde “z” é a parte inteira do prazo e “q” é a parte fracionária.
 
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Em azul temos o montante obtido ao final da parte inteira do prazo. Disto resulta que a parte em vermelho corresponde aos juros da parte fracionária do prazo, que a questão afirmou ser igual a 104,04
 
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Simplificando 1,0404 com 104,04:
 
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Aplicando este capital durante 2 bimestres, à taxa de juros compostos de 4% ab, temos:
 
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E o juro fica:
 
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Gabarito: B
 
36. Um investidor aplica um capital no valor de R$ 12.000,00 durante 1 ano e resgata todo o montante no final deste prazo. Ele verifica que a taxa de inflação do período de aplicação foi de 8% e a respectiva taxa de juros real da aplicação foi de 2,5%. Isto significa que o investidor resgatou um montante no valor de
(A) R$ 13.284,00
(B) R$ 12.660,00
(C) R$ 12.830,00
(D) R$ 13.000,00
(E) R$ 13.260,00
 
Inflação:
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Taxa real:
 
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A taxa nominal “i” é tal que:
 
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O montante é dado por:
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Gabarito: A
 
37. Uma dívida deverá ser quitada por meio de 3 prestações anuais e consecutivas. O valor da primeira prestação, que vence daqui a 1 ano, é igual a R$ 9.240,00, o da segunda é R$ 12.705,00 e o da terceira é R$ 16.770,60. Utilizando o critério do desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, esta dívida poderá ser quitada por meio de duas prestações de valores iguais, vencíveis a primeira daqui a 1 ano e a segunda daqui a 2 anos. O valor de cada prestação, nesta segunda opção, é
(A) R$ 15.750,00
(B) R$ 18.150,00
(C) R$ 17.325,00
(D) R$ 16.500,00
(E) R$ 16.125,00
 
 
Fluxo de caixa original:
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Segundo fluxo de caixa:
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Os dois fluxos de caixa serão equivalentes se tiverem o mesmo valor, na mesma data:
 
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Gabarito: B
 
38. Carlos obtém de um banco um empréstimo para adquirir um imóvel. O empréstimo deverá ser liquidado por meio de 60 prestações mensais e consecutivas e com a utilização do Sistema de Amortização Constante (SAC), vencendo a primeira prestação 1 mês após a data da concessão do empréstimo. Se os valores da primeira prestação e da última são iguais a R$ 4.000,00 e R$ 2.525,00, respectivamente, então o valor da 30 a prestação é igual a
(A) R$ 3.325,00
(B) R$ 3.350,00
(C) R$ 3.250,00
(D) R$ 3.275,00
(E) R$ 3.300,00
 
Devemos nos lembrar que as prestações, no SAC, se comportam como uma progressão aritmética decrescente. Seja “r” a razão da PA.
O primeiro termo da PA é 4.000
 
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O 60º termo é 2.525
 
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A fórmula do termo geral da PA é:
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Agora podemos calcular o trigésimo termo:
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Gabarito: D
 
Instruções: Para resolver às questões de números 39 e 40 considere as informações a seguir:
A tabela abaixo corresponde a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês para ser utilizada em um empréstimo no valor de R$ 100.000,00, que deverá ser quitado por meio de 48 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação 1 mês após a data da concessão do empréstimo. Considere também que deve ser utilizado o Sistema Francês de amortização com uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.
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39. Em 15/10/2013, imediatamente após quitar a 12 a prestação, o devedor conseguiu renegociar a dívida pagando o correspondente saldo devedor com 10% de desconto em 15/10/2013. O valor deste pagamento (P), em reais, é tal que
(A) P > 75.000
(B) P ≤ 72.000
(C) 72.000 < P ≤ 73.000
(D) 73.000 < P ≤ 74.000
(E) 74.000 < P ≤ 75.000
 
Resolução:
 
A multiplicação do fator de recuperação de capital pelo valor financiado resulta na prestação X:
 
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Depois de já ter pago 12 prestações, restam 48 – 12 = 36.
 
O valor atual (A) desta série remanescente, formada por 36 pagamentos, na data 12 (1 mês antes do primeiro pagamento) é tal que:
 
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Se pagarmos este valor com 10% de desconto, o valor pago (P) será de:
 
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Gabarito: E
 
40. O valor da cota de amortização incluída no valor da 2 a prestação é igual a
(A) R$ 1.974,80
(B) R$ 1.260,00
(C) R$ 1.272,60
(D) R$ 1.285,20
(E) R$ 1.630,00
 
Quando do pagamento da primeira parcela temos juros de 2% incidindo sobre o valor financiado:
 
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A dívida então salta para 102.000,00, quando pagamos a primeira prestação de 3.260. A dívida, logo após a primeira prestação, cai para:
 
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Na segunda prestação temos juros de 2% incidindo sobre tal valor:
 
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O restante da prestação é para amortizar a dívida:
 
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Gabarito: D
 

Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).