Resolução da prova – ICMS RJ – Estatística

Por: Vítor Menezes

Olá pessoal. No meu artigo anterior, resolvi a prova de matemática financeira do ICMS RJ, na qual não ví recursos.
 
Hoje comento a prova de estatística, na qual também não ví recursos.
 
Tentarei ainda hoje postar a resolução da prova de Raciocínio Lógico. Adianto que já resolvi a prova aqui, "no papel", e também não ví recursos.
 
Vamos lá (base – prova tipo 3).
 
41. O Departamento de Pessoal de certo órgão público fez um levantamento dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os seguintes resultados:
 
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Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400 funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos os valores incluídos em um intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a
(A) 8,93
(B) 8,72
(C) 8,54
(D) 8,83
(E) 8,62
 
Ao valor 8 associamos a frequência acumulada
 
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Ao valor 10 associamos a frequência acumulada:
 
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À mediana (8,8) associamos a frequência acumulada 200 (metade do número de observações).
 
Então temos (valor/frequência acumulada):
 
8 — 148
 
8,8 — 200
 
10 —- 148+x
 
Na interpolação linear, fazemos a diferença entre as linhas. Em seguida, montamos as frações e igualamos:
 
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A soma de todas as frequências simples é 400:
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Criando a variável auxiliar:
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Agora calculamos a média:
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Logo:
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Portanto:
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Gabarito: A
 
42 – Considere o modelo
 
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(omiti a explicação sobre cada símbolo – basicamente é o modelo usual de regressão linear)
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Nessas condições, a soma de quadrados residuais do modelo é igual a
(A) 785
(B) 810
(C) 515
(D) 920
(E) 460
 
Primeiro calculamos clip_image052, que é o estimador de clip_image054:
 
clip_image056
 
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A soma de quadrados total é igual a:
 
clip_image060
 
A soma de quadrados do modelo de regressão é:
 
clip_image062
 
Finalmente, calculamos a soma de quadrados dos resíduos:
 
clip_image064
Gabarito: D
 
43. Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é
a) 13/100
b) 13/55
c) 7/55
d) 9/110
e) 9/55
 
Número total de casos:
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Casos favoráveis
 
1º tipo: três itens defeituosos
 
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Há 4 formas de escolhermos três itens defeituosos
 
2º tipo: dois itens defeituosos e um item bom.
 
Escolha dos itens defeituosos:
 
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Escolha do item bom:
 
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Aplicando o princípio fundamental da contagem:
 
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Há 48 formas de escolhermos 2 defeituosos e 1 bom.
 
Assim, há 3+48 = 51 casos favoráveis.
 
Probabilidade:
 
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Gabarito: B
 
44) Sabe-se que:
I . X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 2p e variância (2p-2p2).
II . Y é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 5p e variância (5p-5p2).
III . A probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16.
Nessas condições, a probabilidade de Y ser superior a 3 é igual a
 
a) 3/1024
b) 1/64
c) 5/512
d) 15/1024
e) 7/512
 
Resolução:
Antes de entrarmos na resolução da questão, vamos analisar uma distribuição Binomial genérica, com parâmetros “p” e “n”.
Sua esperança e sua variância são:
 
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clip_image080
Dividindo a variância pela esperança:
 
clip_image082
 
A divisão entre ambas nos dá a probabilidade de fracasso em um experimento de Bernoulli.
 
Visto isso, vamos atacar a questão. Dividindo a variância de X por sua esperança:
 
clip_image084
 
Concluímos que, para X, a probabilidade “p” é justamente a probabilidade de sucesso em um experimento. Ou seja, a questão está usando a nomenclatura usual, onde “p” é a chance de sucesso em cada extração.
 
Lembrando que a esperança é dada por:
 
clip_image078[1]
 
E comprando isso com:
 
clip_image086
 
Concluímos que:
 
clip_image088
 
Uma distribuição binomial com parâmetro n = 2 só pode assumir valores 0, 1, e 2.
 
A chance de X = 2 é dada por:
 
clip_image090
 
clip_image092
 
Como a chance de X ser menor que 2 é 15/16, então:
 
clip_image094
 
Isto ocorre porque X só assume valores 0, 1 ou 2. Logo, o evento X < 2 é complementar a X = 2.
 
Voltando:
clip_image092[1]
 
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Agora vamos à variável Y. Dividindo sua variância por sua esperança:
 
clip_image098
 
O que nos indica que, também para a variável Y, a questão usa a simbologia usual (chamar a probabilidade de sucesso de “p”).
Comparando clip_image100 com clip_image102, concluímos que, para Y, temos n=5.
Assim, Y é binomial com parâmetros
 
clip_image104
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Agora calculamos as probabilidades:
clip_image108
clip_image110
Logo:
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clip_image114
Gabarito: B
 
45) O número de atendimentos, via internet, realizados pela Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é
(A) 0,594
(B) 0,910
(C) 0,766
(D) 0,628
(E) 0,750
 
Dado: clip_image116
 
Resolução:
Se em para 1 hora a média é de 12 atendimentos, então para 20 minutos (um terço de hora), a média é:
 
clip_image118
A fórmula para a distribuição de Poisson é:
 
clip_image120
Agora substituímos “k” por 0, 1 e 2:
 
clip_image122
 
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Mas nós queremos a probabilidade de X ser maior ou igual a 3. Basta tomar o evento complementar:
 
clip_image130
 
clip_image132
Gabarito: C

Se Z tem distribuição normal padrão, então:
P(Z < 0,8) = 0,788; P(Z < 1,25) = 0,894; P(Z < 1,4) = 0,92;
P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,96) = 0,975; P(Z < 2) = 0,977

46. Seja p a probabilidade de ocorrer cara quando se lança uma determinada moeda. Com base em 100 lançamentos da moeda, deseja-se testar a hipótese de que a moeda é não viciada (p = 0,5) contra a alternativa de que p = 0,8. Com base na variável aleatória clip_image134que representa a proporção de caras em 100 lançamentos, estabeleceu-se para o teste a seguinte região crítica (RC): RC = clip_image136
Sendo β a probabilidade do erro do tipo II , e admitindo-se a aproximação à normal para a distribuição de clip_image134[1] , o valor de β é
(A) 0,150
(B) 0,250
(C) 0,106
(D) 0,053
(E) 0,125
 
Resolução.
O exercício pediu a probabilidade de cometermos o erro de tipo II. Ou seja, de aceitarmos H0 dado que ela é falsa.
Isso significa obter proporção amostral menor que 0,75 quando a proporção populacional é 0,8.
Se a proporção populacional é 0,8 (p = 0,8), podemos calcular a esperança e a variância da proporção amostral, assim:
 
clip_image138
 
clip_image140
 
Agora calculamos a estatística teste (Zt):
clip_image142
 
clip_image144
 
A chance de aceitarmos H0 corresponde à clip_image146
 
O exercício nos disse que:
 
clip_image148
Logo:
 
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Como a normal reduzida é simétrica em torno de 0, temos:
 
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Gabarito: C
 
 
47. O tempo necessário para o atendimento de uma pessoa em um guichê de uma repartição pública tem distribuição normal com média μ = 140 segundos e desvio padrão σ = 50 segundos. A probabilidade de que um indivíduo, aleatoriamente selecionado, espere entre 3 e 4 minutos para ser atendido é
(A) 0,765
(B) 0,632
(C) 0,235
(D) 0,189
(E) 0,678
 
O primeiro passo é calcular os escores da normal padrão correspondentes aos valores dados no enunciado. A transformação é feita assim:
 
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Os tempos desejados são 180 segundos (3 minutos) e 240 segundos (4 minutos)
 
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Vamos agora para o gráfico da função densidade da normal reduzida, para indicarmos as áreas desejadas:
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O exercício nos disse que a área à esquerda de 2 vale 0,977. Portanto, a área amarela, à direita de 2, vale:
 
clip_image161
 
O exercício nos disse ainda que a área à esquerda de 0,8 vale 0,788. Portanto, a soma das áreas amarela e verde é igual a:
 
clip_image163
Portanto:
 
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Tal área corresponde à chance de termos observações entre 3 minutos e 4 minutos.
Gabarito: D
 
48. Uma população infinita tem desvio padrão igual a 10 e média μ desconhecida. Uma amostra aleatória com reposição de tamanho n foi selecionada dessa população. Sabe-se que:
 
I . O valor de n deve ser tal que, com probabilidade 16%, o erro em se estimar μ seja superior a 1.
II . Se x é o valor da média amostral da amostra selecionada, então 7, 40 x = .
Baseado na amostra de tamanho n e nas condições I e II acima, um intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança de 95% é dado por
(A) [39,3 ; 42,1]
(B) [39,5 ; 41,9]
(C) [39,7 ; 41,7]
(D) [39,9 ; 41,5]
(E) [38,7 ; 42,7]
 
 
Resolução:
Primeiro vamos determinar o escore da normal padrão que delimita uma área de 16%:
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Queremos que a chance de a normal reduzida Z se afastar de sua média (0) de uma distância maior que Zc seja igual a 16%.
Portanto, a soma das áreas verde e amarela vale 16%. Logo, cada uma delas é igual a 8%.
Se a área amarela é 8%, então:
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clip_image172
 
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Assim, a chance de Z se distanciar de sua média por uma distância superior a 1,4 é de 16%.
E o exercício pediu para que a chance de clip_image176 se distanciar de sua média por uma distância superior a 1 também seja de 16%.
O erro máximo de estimação é dado por:
 
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Onde Zc é o escore da normal padrão associado à probabilidade desejada. Acabamos de descobrir que vale 1,4.
Queremos que o erro associado a tal probabilidade seja igual a 1:
 
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Finalmente, vamos ao cálculo do intervalo de 95% de confiança. Ele tem o seguinte formato:
 
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O que resulta em:
 
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Gabarito: A
 

Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).