Questões Consulplan

Por: Vítor Menezes

Recebi do Maikon, aluno do Tec, pedido de resolução de três questões da Consulplan, dos concursos de
 
01) Numa papelaria são vendidos três tipos de lápis e ‘n’ tipos de caneta. Se o número de maneiras de se comprar dois lápis e duas canetas nessa papelaria é igual a 30, então ‘n’ é igual a: A) 4. B) 5. C) 6. D) 8.
 
Resolução:
 
Questão cobrando o caso de "combinação com repetição", que nos meus cursos eu gosto de tratar como "permutação com repetição".
 
Há 3 tipos lápis, e queremos escolher 2. A ordem de escolha não importa (por isso é combinação), mas podemos pegar mais de um lápis do mesmo tipo (por isso é com repetição).
 
Sendo n o número de categorias e p a quantidade de elementos que selecionaremos, o número de maneiras de fazer a escolha é dada por:
 
(n+p-1)! over (n-1)! times p!
 
={4! over 2! times 2!}
 
=color{red}{6}
 
Há 6 maneiras de escolhermos a dupla de lápis.
 
Para as canetas, são "n" categorias, e vamos escolher 2. O número de maneiras de se fazer a escolha é:
 
{(n+2-1)! over (n-1)! times 2!}
 
={(n+1)! over (n-1)! times 2}    (*)
 
=color{red}{{(n+1) times n over 2}}
 
O número total de formas de escolher os lápis e as canetas é dado pelo produto das quantias em vermelho
 
30=6 times {(n+1) times n over 2}
 
n times (n+1) = 10
 
Nenhuma das alternativas satisfaz a esta equação. Caberia recurso.
 
Para chegar ao gabarito da banca, precisamos mudar o enunciado.
 
01) Numa papelaria são vendidos três tipos de lápis e ‘n’ tipos de caneta. Se o número de maneiras de se comprar dois lápis de tipos diferentes e duas canetas, também de tipos diferentes, nessa papelaria é igual a 30, então ‘n’ é igual a: A) 4. B) 5. C) 6. D) 8.
 
Agora sim, caímos num caso de combinação normal, sem repetição, pois foi fixado que os tipos de lápis devem ser diferentes. Idem para as canetas.
 
C_{3,2} = 3 formas de escolher os dois lápis. 
 
C_{n,2} maneiras de escolher as canetas.
 
De modo que o número total de escolhas fica:
 
3 times C_{n,2} = 30
 
C_{n,2} = 10
 
n=5
 
Se você não se lembrasse que C_{5,2} = 10, poderia testar rapidamente as alternativas.
 
Resposta: B

02) Um triângulo retângulo possui 216 cm2 de área. Sabendo que esse triângulo é semelhante ao triângulo pitagórico de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, então seu perímetro mede: A) 56 cm. B) 64 cm. C) 68 cm. D) 72 cm.
 
 
Resolução.
 
O triângulo pitagórico 3/4/5 tem base medindo 3 e altura medindo 4. De modo que sua área fica:
 
{3 times 4 over 2} = 6
 
O triângulo pedido na questão tem área 216. A razão entre as áreas fica:
 
{216 over 6} = 36
 
A razão entre as áreas é 36. Lembrando que a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança (r):
 
r = sqrt {36} = 6
 
A razão de semelhança vale 6.
 
O perímetro do triângulo menor vale: 3+4+5=12
 
Portanto, o perímetro do triângulo grande mede: 12 times r = 12 times 6 = 72

03) Ronaldo faz academia de ginástica e todos os dias corre na esteira, obedecendo a certo padrão. Ele começa seu exercício na esteira com determinada velocidade e a cada minuto a aumenta 0,72 km/h. Certo dia, ele percorreu 2.610 m em 15 minutos. A velocidade inicial de Ronaldo nesse dia foi de: A) 5 km/h. B) 5,4 km/h. C) 5,76 km/h. D) 6 km/h.
 
Resolução:
 
Seja d_1 a distância percorrida no primeiro minuto, d_2 a distância percorrida no segundo minuto, e assim por diante.
 
A cada minuto, ele aumenta a velocidade em 0,72 km/h.
 
0,72 times {1 text{ km} over 1 text{ hora}} = 0,72 times {1.000 text { m} over 60 text { min}}
 
=12 text { m/min}
 
A cada minuto ele aumenta a velocidade em 12m/min. Ou seja, no minuto seguinte ele anda 12 metros a mais do que andara no minuto anterior. 
 
Assim, d_1, , d_2, , cdots, , d_{15} formam uma PA de razão 12.
 
A soma dos termos da PA vale:
 
{d_1 + d_{15} over 2} times 15 = 2.610
 
d_1+d_{15} = 348    (I)
 
Além disso, a diferença entre d_{15} e d_1 corresponde a 14 vezes a razão.
 
d_{15}-d_1 = 14 times 12   (II)
 
Subtraindo as duas equações:
 
2d_1 = 348 – 14 times 12
 
d_1=90
 
No primeiro minuto ele percorre 90 metros. Ou seja, inicia com uma velocidade de 90 metros por minuto.
 
90 text{m/min}
 
Multiplicando por 60, convertemos isso em metros por hora. E dividindo por 1.000, convertemos finalmente em km por hora.
 
90 times 60 div 1.000=5,4
 
A velocidade inicial é de 5,4 km/h.

 

(*) Detalhando melhor esta parte aqui:
 
{(n+1)! over (n-1)! times 2}
 
Vamos desenvolver o maior fatorial, até chegarmos ao menor fatorial:
 
={(n+1) times n times (n-1)! over (n-1)! times 2}
 
Agora basta simplificar os termos que se repetiram:
 
={(n+1) times n times cancel{(n-1)!} over cancel {(n-1)!} times 2}
 
={(n+1) times n over 2}

Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).