Quantis para dados agrupados por valor ou dados em rol

Por: Vítor Menezes

Existe uma série de diferentes medidas separatrizes, também chamadas de quantis:
 
  • mediana
  • quartis
  • decis
  • percentis
  • etc

No nosso curso de estatística aqui no TEC, vimos que, para dados agrupados por valor ou em rol, há uma série de dificuldades para se determinar medidas separatrizes. A determinação exata dos quantis, nesses casos, depende de alguma regra arbitrariamente escolhida.

Nós até estudamos especificamente o cálculo da mediana e dos quartis. Quanto às demais, deixamos de lado, porque não são cobradas em prova (*). Nós vimos que, no caso da mediana, tomamos sempre o valor central da série (caso tenhamos quantidade ímpar de elementos), ou a média entre os termos centrais (caso a quantidade seja par).

O detalhe, que não foi abordado em nosso curso, é que existe sim uma forma sistemática de cálculo de qualquer medida separatriz para dados em rol/agrupados por valor. Nós só não abordamos esse método porque ele, infelizmente, não é cobrado em provas.

Apenas para não passar batido, vou mostrar nesse artigo como funciona a metodologia.

Como exemplo, considere o seguinte conjunto de dados:

2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15

Para determinar os quantis, a gente trabalha com a função que passa pelos pontos:

$$X_i, \, {i-0,5 \over n} $$

Em que $$X_i$$ representa o i-ésimo elemento e “n” indica o número de dados. No nosso exemplo, n = 20.

Exemplo. O primeiro termo vale 2. Logo:

$$X_1 = 2$$

$${i-0,5 \over 20} = {1-0,5 \over 20} =0,025 $$

Esta função nada mais é que uma adaptação da frequência relativa acumulada.

Na tabela abaixo eu resumo os resultados:

$$ \begin{array} {|c|c|c|} \hline i & X_i & {i-0,5 \over 20} \\
\hline 1 & 2 & 0,025 \\
\hline 2 & 3 & 0,075 \\
\hline 3 & 3 & 0,125 \\
\hline 4 & 4 & 0,175 \\
\hline 5 & 4 & 0,225 \\
\hline 6 & 5 & 0,275 \\
\hline 7 & 6 & 0,325 \\
\hline 8 & 6 & 0,375 \\
\hline 9 & 6 & 0,425 \\
\hline 10 & 7 & 0,475 \\
\hline 11 & 7 & 0,525 \\
\hline 12 & 9 & 0,575 \\
\hline 13 & 11 & 0,625 \\
\hline 14 & 11 & 0,675 \\
\hline 15 & 12 & 0,725 \\
\hline 16 & 13 & 0,775 \\
\hline 17 & 13 & 0,825 \\
\hline 18 & 13 & 0,875 \\
\hline 19 & 13 & 0,925 \\
\hline 20 & 15 & 0,975 \\
\hline
\end{array} $$

Pronto, feito isso, o próximo passo é aplicar a interpolação linear, exatamente como fazemos para dados em classe.

Exemplo: a mediana é o valor que corresponde a 0,5 (=50%). Só que 0,5 não tem na tabela acima. Fazemos interpolação linear considerando os valores vizinhos a 0,5. Ou seja, considerando que o primeiro 7 corresponde a 0,475 e o segundo 7 corresponde a 0,525. Fazendo interpolação linear, obtém-se que a mediana é igual a 7.

O primeiro quartil é o valor que corresponde a 0,25 (=25%). Só que 0,25 não tem na coluna de freqüências relativas acumuladas adaptadas. Consideramos, novamente, os valores vizinhos. Consideramos que o segundo 4 corresponde a 0,225 e 5 corresponde a 0,275. Fazendo interpolação linear, descobrimos que o primeiro quartil é igual a 4,5. Vejam:

$${Q_1-4 \over 0,25-0,225}={5-4 \over 0,275-0,225} $$

$${Q_1 – 4 \over 0,025} = {1 \over 0,05} \to Q_1 = 4,5 $$

E com esse mesmo raciocínio poderíamos descobrir qualquer outra medida separatriz.

E fica o alerta: nunca vi isso sendo cobrado em prova, por isso nunca abordei isso em curso algum. Mas fica aí a informação de que há uma forma sistemática para cálculo de qualquer medida separatriz, ainda que os dados estejam em rol ou agrupados por valor.

(*) Não confundir com medidas separatrizes para dados em classe – isso sim, algo que é extremamente frequente em provas

Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).