Prova de matemática financeira do ISS Teresina

30 ago 2016

11. Joana aplicou todo seu capital, durante 6 meses, em 2 bancos (X e Y). No Banco X, ela aplicou 37,5% do capital sob o regime
de capitalização simples e verificou que, no final do período de 6 meses, o valor dos juros foi de R$ 2.250,00. No Banco Y, ela
aplicou o restante do capital sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de 4% ao trimestre, verificando que, no final do
período de 6 meses, o valor dos juros foi de R$ 4.080,00. A taxa de juros anual correspondente à aplicação no Banco X foi de

(A) 10,50%

(B) 15,00%

(C) 13,50%

(D) 12,00%

(E) 11,25%

Resolução

Primeira solução

Banco Y, o capital vale C_y, os juros são de J_y 4.080, a taxa de juros é de 4% ao trimestre (i_y=0,04) e são 2 trimestres de aplicação (n=2).

Aplicando a fórmula do montante para o regime composto:

M_y = C_y times (1+i_y)^n

C_y+ 4.080 = C_y times 1,04^2

1,0816 times C_y – C_y = 4.080

C_y = {4.080 over 0,0816} = 50.000

Este capital corresponde a 62,5% do capital total.

C_y = 0,625C

C = {50.000 over 0,625}=80.000

Já o capital aplicado em X corresponde a 37,5%. Portanto:

C_x = 0,375 times C = 0,375 times 80.000=30.000

Banco X

Agora os juros valem 2.250, o prazo de aplicação é de 0,5 anos, o capital vale 30.000,00 e queremos descobrir a taxa de juros.

J_x = C_ x times n times i_x

2.250=30.000 times 0,5 times i_x

i_x = {2.250 over 15.000} = 15%

Resposta: B

Segunda solução.

No banco Y, temos 4% incidindo durante 2 períodos, capitalização composta, o que vai dar 8,16%. Estes 8,16%, sobre 0,625C, resultam em juros e 4.080.

No banco X, temos uma taxa trimestral i_t, incidindo sobre os mesmos dois períodos, mas agora em capitalização simples. Isso corresponderá a 2 times i_t sobre 0,375C, resultando em 2.250,00.

Podemos então montar a seguinte regra de 3:

0,0816 times 0,625C …. 4.080

2 times i_t times 0,375C …. 2.250

Multiplicando cruzado:

i_t times (2 times 0,375 times 4.080) = 2.250 times 0,625 times 0,0816

4.080 simplificando com 0,0816 dá 50.000.

i_t = {2.250 times 0,625 over 0,375 times 2 times 50.000}

Para achar a taxa anual, basta multiplicar isso por 4:

i_a = {4 times 2.250 times 0,625 over 0,375 times 100.000}

i_a = {9.000 over 100.000} times {0,625 over 0,375}

i_a = 9% times {5 over 3}

i_a = 15%

12) Uma aplicação no valor de R$ 25.000,00 por um período de 1 ano permitirá que seja resgatado, no final do período da aplicação,
um montante no valor de R$ 28.730,00. Para que a taxa real de juros desta aplicação seja no mínimo de 4%, a taxa de inflação
deste ano terá que ser no máximo igual a

(A) 12,00%

(B) 11,20%

(C) 9,80%

(D) 10,50%

(E) 10,92%

Resolução

Primeiro determinamos a taxa nominal i:

{28.730 over 25.000} = i+i

1+i = {4 times 28.730 over 100.000} = 1,1492

i=14,92%

Se pudéssemos simplesmente subtrair a inflação 4%, para obter a taxa real, o resultado seria 14,92% – 4% = 10,92%. Contudo, como temos na verdade incidência composta, ou seja, como a taxa real vai incidir sobre a taxa de inflação para produzir os 14,92%, precisaremos de um valor um pouco menor que 10,92% para gerar tal resultado. Então ficamos com a letra D.

Resposta: D

Fazendo o cálculo exato:

1+i=(1+j) times (1+r)

Acima, j é a taxa de inflação e r é a taxa real.

1,1492 = 1,04 times (1+r)

1+r = 1,105

r=10,5%

Resposta: D

13. Uma duplicata é descontada 6 meses antes de seu vencimento em um banco que adota uma taxa de desconto de 5% ao
trimestre para qualquer operação de desconto. Verifica-se que o valor do desconto com a utilização do desconto racional
composto supera o valor do desconto com a utilização do desconto racional simples em R$ 50,00. Caso a opção seja pela
utilização do desconto comercial simples, o valor do desconto será, então,

(A) R$ 2.425,50.

(B) R$ 2.275,50.

(C) R$ 2.505,75.

(D) R$ 2.250,00.

(E) R$ 2.200,00.

Resolução

Seja N o valor nominal do título. O desconto racional composto fica:

N – {N over 1,05^2}

N – {N over 1,1025} (equação 1)

O desconto racional simples fica:

N – {N over 1+ 0,05 times 2}

N – {N over 1,1} (equação 2)

Fazendo a diferença entre as duas equações, temos o valor de R$ 50,00:

{N over 1,1} – {N over 1,1025} = 50

{1,1025N – 1,1N over 1,1 times 1,1025}=50

N={50 times 1,1 times 1,1025 over 0,0025}

Multiplicando numerador e denominador por 400:

N=50 times 1,1 times 1,1025 times 400=24.255

Agora calculamos o desconto comercial simples:

D=N times i times n

D = 24.255 times 0,05 times 2

D = 2.425,5

Resposta: A

14. Uma dívida no valor de R$ 16.000,00 deverá ser liquidada por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a
primeira prestação 1 mês após a data da concessão da dívida. Utilizando o sistema de amortização francês, observa-se que os
saldos devedores da dívida, imediatamente após o pagamento da primeira e da segunda prestação, são iguais a R$ 12.956,00 e
R$ 9.835,90, respectivamente. O valor dos juros incluído na segunda prestação é igual a

(A) R$ 259,12.

(B) R$ 388,68.

(C) R$ 245,90.

(D) R$ 362,80.

(E) R$ 323,90.

Resolução

Se o saldo devedor após o pagamento da primeira prestação era de 12.956,00, então a primeira amortização foi de:

q_1 = 16.000-12.956=3.044

Fazendo a diferença entre o saldo devedor após a primeira prestação, e após a segunda, temos a segunda amortização:

q_2 = 12.956-9.835,90=3.120,10

Fazendo a relação entre os dois valores, temos o fator de capitalização.

1+i = {q_2 over q_1} = {3.120,10 over 3.044}

i=2,5%

Portanto, os juros embutidos na segunda prestação foram de 2,5% do saldo devedor observado no mês anterior.

0,025 times 12.956=323,90

Resposta: E

15. A taxa interna de retorno positiva do fluxo de caixa abaixo correspondente a determinado projeto é de 12% ao ano.

Ano	Fluxo de caixa (R$)
0	-39.000
1	X
2	2X

O valor de X é igual a

(A) R$ 14.560,00.

(B) R$ 15.052,80.

(C) R$ 15.680,00.

(D) R$ 14.616,00.

(E) R$ 16.240,00.

Resolução:

39.000={X over 1,12}+{2X over 1,12^2}

39.000 times 1,12^2 = 1,12X+2X

X={39.000 times 1,12^2 over 3,12}

X=15.680

Resposta: C

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