Prova de matemática financeira do ISS Teresina

Por: Vítor Menezes

11.  Joana aplicou todo seu capital, durante 6 meses, em 2 bancos (X e Y). No Banco X, ela aplicou 37,5% do capital sob o regime
de capitalização simples e verificou que, no final do período de 6 meses, o valor dos juros foi de R$ 2.250,00. No Banco Y, ela
aplicou o restante do capital sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de 4% ao trimestre, verificando que, no final do
período de 6 meses, o valor dos juros foi de R$ 4.080,00. A taxa de juros anual correspondente à aplicação no Banco X foi de
 
(A)  10,50%
 
(B)  15,00%
 
(C)  13,50%
 
(D)  12,00%
 
(E)  11,25%
 
Resolução
 
Primeira solução
 
Banco Y, o capital vale C_y, os juros são de J_y 4.080, a taxa de juros é de 4% ao trimestre (i_y=0,04) e são 2 trimestres de aplicação (n=2).
 
Aplicando a fórmula do montante para o regime composto:
 
M_y = C_y times (1+i_y)^n
 
C_y+ 4.080 = C_y times 1,04^2
 
1,0816 times C_y – C_y = 4.080
 
C_y = {4.080 over 0,0816} = 50.000
 
Este capital corresponde a 62,5% do capital total.
 
C_y = 0,625C
 
C = {50.000 over 0,625}=80.000
 
Já o capital aplicado em X corresponde a 37,5%. Portanto:
 
C_x = 0,375 times C = 0,375 times 80.000=30.000
 

Banco X
 
Agora os juros valem 2.250, o prazo de aplicação é de 0,5 anos, o capital vale 30.000,00 e queremos descobrir a taxa de juros.
 
J_x = C_ x times n times i_x
 
2.250=30.000 times 0,5 times i_x
 
i_x = {2.250 over 15.000} = 15%
 

Resposta: B

Segunda solução.
 
No banco Y, temos 4% incidindo durante 2 períodos, capitalização composta, o que vai dar 8,16%. Estes 8,16%, sobre 0,625C, resultam em juros e 4.080.
 
No banco X, temos uma taxa trimestral i_t, incidindo sobre os mesmos dois períodos, mas agora em capitalização simples. Isso corresponderá a 2 times i_t sobre 0,375C, resultando em 2.250,00.
 
Podemos então montar a seguinte regra de 3:
 
0,0816 times 0,625C …. 4.080
 
2 times i_t times 0,375C …. 2.250
 
Multiplicando cruzado:
 
i_t times (2 times 0,375 times 4.080) = 2.250 times 0,625 times 0,0816
 
4.080 simplificando com 0,0816 dá 50.000.
 
i_t = {2.250 times 0,625 over 0,375 times 2 times 50.000}
 
Para achar a taxa anual, basta multiplicar isso por 4:
 
i_a = {4 times 2.250 times 0,625 over 0,375 times 100.000}
 
i_a = {9.000 over 100.000} times {0,625 over 0,375}
 
i_a = 9% times {5 over 3}
 
i_a = 15%
 

12)  Uma aplicação no valor de R$ 25.000,00 por um período de 1 ano permitirá que seja resgatado, no final do período da aplicação,
um montante no valor de R$ 28.730,00. Para que a taxa real de juros desta aplicação seja no mínimo de 4%, a taxa de inflação
deste ano terá que ser no máximo igual a
 
(A)  12,00%
 
(B)  11,20%
 
(C)  9,80%
 
(D)  10,50%
 
(E)  10,92%
 
Resolução
 
Primeiro determinamos a taxa nominal i:
 
{28.730 over 25.000} = i+i
 
1+i = {4 times 28.730 over 100.000} = 1,1492
 
i=14,92%
 
Se pudéssemos simplesmente subtrair a inflação 4%, para obter a taxa real, o resultado seria 14,92% – 4% = 10,92%. Contudo, como temos na verdade incidência composta, ou seja, como a taxa real vai incidir sobre a taxa de inflação para produzir os 14,92%, precisaremos de um valor um pouco menor que 10,92% para gerar tal resultado. Então ficamos com a letra D.
 
Resposta: D
 
Fazendo o cálculo exato:
 
1+i=(1+j) times (1+r)
 
Acima, j é a taxa de inflação e r é a taxa real.
 
1,1492 = 1,04 times (1+r)
 
1+r = 1,105
 
r=10,5%
 
Resposta: D


13.  Uma  duplicata  é  descontada  6 meses  antes  de  seu  vencimento  em  um  banco  que  adota  uma  taxa  de  desconto  de  5%  ao
trimestre  para  qualquer  operação  de  desconto.  Verifica-se  que  o  valor  do  desconto  com  a  utilização  do  desconto  racional
composto  supera  o  valor  do  desconto  com  a  utilização  do  desconto  racional  simples  em  R$ 50,00.  Caso  a  opção  seja  pela
utilização do desconto comercial simples, o valor do desconto será, então,
 
(A)  R$ 2.425,50.
 
(B)  R$ 2.275,50.
 
(C)  R$ 2.505,75.
 
(D)  R$ 2.250,00.
 
(E)  R$ 2.200,00.
 
Resolução
 
Seja N o valor nominal do título. O desconto racional composto fica:
 
N – {N over 1,05^2}
 
N – {N over 1,1025}   (equação 1)
 
O desconto racional simples fica:
 
N – {N over 1+ 0,05 times 2}
 
N – {N over 1,1}  (equação 2)

 
Fazendo a diferença entre as duas equações, temos o valor de R$ 50,00:
 
{N over 1,1} – {N over 1,1025} = 50
 
{1,1025N – 1,1N over 1,1 times 1,1025}=50
 
N={50 times 1,1 times 1,1025 over 0,0025}
 
Multiplicando numerador e denominador por 400:
 
N=50 times 1,1 times 1,1025 times 400=24.255
 
Agora calculamos o desconto comercial simples:
 
D=N times i times n
 
D = 24.255 times 0,05 times 2
 
D = 2.425,5
 
Resposta: A

14.  Uma dívida no valor de R$ 16.000,00 deverá ser liquidada por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a
primeira prestação 1 mês após a data da concessão da dívida. Utilizando o sistema de amortização francês, observa-se que os
saldos devedores da dívida, imediatamente após o pagamento da primeira e da segunda prestação, são iguais a R$ 12.956,00 e
R$ 9.835,90, respectivamente. O valor dos juros incluído na segunda prestação é igual a
 
(A)  R$ 259,12.
 
(B)  R$ 388,68.
 
(C)  R$ 245,90.
 
(D)  R$ 362,80.
 
(E)  R$ 323,90.
 
Resolução
 
Se o saldo devedor após o pagamento da primeira prestação era de 12.956,00, então a primeira amortização foi de:
 
q_1 = 16.000-12.956=3.044
 
Fazendo a diferença entre o saldo devedor após a primeira prestação, e após a segunda, temos a segunda amortização:
 
q_2 = 12.956-9.835,90=3.120,10
 
Fazendo a relação entre os dois valores, temos o fator de capitalização.
 
1+i = {q_2 over q_1} = {3.120,10 over 3.044}
 
i=2,5%
 
Portanto, os juros embutidos na segunda prestação foram de 2,5% do saldo devedor observado no mês anterior.
 
0,025 times 12.956=323,90
 
Resposta: E
 

15.  A taxa interna de retorno positiva do fluxo de caixa abaixo correspondente a determinado projeto é de 12% ao ano.
 
Ano Fluxo de caixa (R$)
0 -39.000
1 X
2 2X
 

O valor de X é igual a
 
(A)  R$ 14.560,00.
 
(B)  R$ 15.052,80.
 
(C)  R$ 15.680,00.
 
(D)  R$ 14.616,00.
 
(E)  R$ 16.240,00.
 
Resolução:
 
39.000={X over 1,12}+{2X over 1,12^2}
 
39.000 times 1,12^2 = 1,12X+2X
 
X={39.000 times 1,12^2 over 3,12}
 
X=15.680
 
Resposta: C
 
 
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Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).