Prova de estatística – ISS Teresina

Por: Vítor Menezes

16.  Suponha que o número de processos que um auditor fiscal analisa no período de uma semana tem distribuição de Poisson com média de lambda processos por semana. Sabe-se que lambda satisfaz à equação
 
P(X = lambda) = {3 over 64 }
 
onde X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 1 e variância 3/4. Nessas condições, a probabilidade do auditor analisar exatamente 2 processos em uma semana é igual a
 
(Dados: e^{-2} = 0,14; e^{-3} = 0,05)
 
(A)  0,375.
 
(B)  0,325.
 
(C)  0,225.
 
(D)  0,250.
 
(E)  0,350
 
Resolução
 
Uma distribuição binomial de parâmetros n e p tem média dada por:
 
E(X) = np=1
 
E sua variância é igual a:
 
V(X) =color{red} {np} times (1-p)={3 over 4}
 
Já sabemos que np=1. Podemos usar esta informação na equação acima, substituindo a parte em vermelho por 1:
 
1-p={3 over 4}
 
p = {1 over 4}
 
Portanto:
 
n=4
 
A chance de uma variável binomial assumir o valor k é dada por:
 
P(X=k) = C_{n,k} times p^k times (1-p)^{n-k}
 
{3 over 64}= C_{4,k} times {1 over 4^k} times {3^{4-k} over 4 ^{4-k}}
 
Note que 4^k times 4^{4-k} = 4^4 = 256. Quando simplificarmos com 64, o resultado será 4:
 
4 times 3^1 = C_{4,k} times 3^{4-k}
 
Comparando os dois lados da igualdade, vemos que há sempre uma potência de base 3. Igualando seus expoentes, vemos que
 
4-k = 1 to k = 3
 
Deste modo, o parâmetro da distribuição de Poisson vale 3.
 
lambda = 3
 
Finalmente, vamos para a probabilidade da distribuição de Poisson, com parâmetro lambda = 3
 
P(Y = k) = {e^{- lambda} times lambda ^k over k!}
 
P(Y = 2) = {e^{-3} times 3 ^2 over 2!}
 
={0,05 times 9 over 2} = 22,5%
 
Resposta: C


Atenção:  Para resolver às questões 17 e 18, considere as informações dadas a seguir.  
 
Se Z tem distribuição normal padrão, então:
 
 
P(Z < 1,64) =0,950;   P(Z<2,05)=0,980;    P(Z<2,40)=0,992.
 
 

17.  Com o objetivo de se estimar a média mensal salarial, que denotaremos por mu, de certa categoria de trabalhadores, tomou-se
uma amostra aleatória de 400 desses trabalhadores. Os resultados estão apresentados na tabela de distribuição de frequências
abaixo,  onde  a  primeira  coluna  apresenta  as  faixas  salariais  mensais,  em  número  de  salários  mínimos  (SM),  de  tais
trabalhadores:
 
 
Considere:
 
  I.  Que a população de onde a amostra foi retirada é infinita e tem distribuição normal com desvio padrão igual a 2 SM.
 
  II.  Para a estimativa pontual de μ a média aritmética dos 400 salários apresentados, calculada considerando que todos os
valores incluídos num intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo.
 
  Nessas condições, o intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança igual a 98,4%, baseado nessa amostra, é dado
por
 
(A)  (7,00; 7,40).
 
(B)  (7,04; 7,36).
 
(C)  (6,80;7,60).
 
(D)  (6,92; 7,48).
 
(E)  (6,96; 7,44).
 
 
Resolução
 
Primeiramente, note que, em todas as alternativas, a soma dos extremos dos intervalos de confiança é sempre igual a 14,40. Isso significa que todas elas estão me dizendo que a média aritmética da amostra vale {14,4 over 2} = 7,2. Portanto, eu nem perco tempo calculando a média aritmética, já considero logo que vale 7,20.
 
Em todo caso, vamos aos cálculos. Basta associarmos cada frequência ao ponto médio do intervalo.
 
Classes Ponto médio (X) Frequência (f) Xf
4 a 6 5 0,3 1,5
6 a 8 7 0,4 2,8
8 a 10 9 0,2 1,8
10 a 12 11 0,1 1,1
Total   1 7,2
 

 
Logo, overline X = 7,2
 
Agora determinamos o escore Z_0 da normal padrão que delimita a área de 98,4%.
 
 
Nós queremos que a área verde valha 98,4%. Assim, a soma das áreas amarela + vermelha vale 100% – 98,4% = 1,6%. Devido à simetria, cada uma delas vale 0,8%.
 
mbox{vermelha = }0,8%
mbox{verde = }98,4%
 
mbox{Vermelha + Verde = } 99,2%
 
Assim, à esquerda de Z_0 temos uma área de 99,2%. Portanto, Z_0 = 2,40
 
O intervalo de confiança fica:
 
overline X pm Z_0 times {sigma over sqrt n}
 
7,2 pm 2,4 times {2 over sqrt {400}}
 
7,2 pm 2,40 times 0,1
 
7,2 pm 0,24
 
[6,96; , 7,44]
 
Resposta: E

18.  Da receita dos municípios da região sul de determinado país, afirma-se que, em média, 8% são gastos com saúde. Desejando-
se  provar  tal afirmação planejou-se um teste de hipóteses sobre a variável  aleatória X, que representa a porcentagem dos
gastos com saúde desses municípios relativamente às suas receitas. Supondo que X é uma variável com distribuição normal
com média μ e desvio padrão de 2%, selecionou-se uma amostra aleatória de 400 desses municípios, e se considerou testar a
hipótese nula μ = 8% versus a hipótese alternativa μ < 8% ao nível de significância de 2%. Supondo que a população de onde a
amostra é proveniente é de tamanho infinito, o menor valor encontrado para a média amostral, tal que a hipótese nula não seja
rejeitada é, em porcentagem, igual a
 
(A)  7,795.
 
(B)  6,950.
 
(C)  7,850.
 
(D)  7,750.
 
(E)  7,995.
 
Resolução
 
Note que a hipótese alternativa é do tipo "a média é menor que alguma coisa'. Logo, a região crítica está na extremidade esquerda do gráfico (valores menores que 0).
 
 
A região crítica é a destacada em vermelho acima.
 
Como o nível de significância é de 2%, queremos que a área vermelha valha 2%. Devido à simetria do gráfico da função de densidade da normal reduzida, a área amarela também vale 2%. E, para inteirar 100%, concluímos que a área verde vale 96%.
 
Portanto:
 
P(Z < Z_0) = mbox{verde + amarela} = 96% + 2% = 98%
 
Z_0=2,05
 
Portanto, o valor crítico, que é o que delimita a área vermelha, vale -Z_0 = -2,05
 
Valor crítico: -2,05
 
Para não rejeitarmos H0, a estatística teste (Z_t) tem que ser maior ou igual ao valor crítico.
 
Z_t = {overline X – mu over sigma div sqrt {n}}
 
Z_t = {overline X – 0,08 over 0,02 div sqrt {400}}
 
Z_t = {overline X – 0,08 over 0,001} > -2,05
 
overline X – 0,08 > -0,00205
 
overline X > 8% – 0,205%
 
overline X > 7,795%
 
Resposta: A

19.  Considere as seguintes afirmações:
 
I.  As amostras 1 e 2 dadas a seguir, cada uma com 5 elementos, não possuem a mesma média amostral mas possuem o
mesmo desvio padrão amostral:
 

amostra 1:   2   4   6   8   10  
      
amostra 2:   4   6   8   10   12

 
Resolução
 
De um conjunto para o outro, somamos 2 em todos os valores. Portanto, a média da segunda amostra será duas unidades maior que a média da primeira.
 
overline X_2 = 2 + overline X_1
 
Como somar ou subtrair constantes não altera as medidas de dispersão absolutas, concluímos que os desvios padrão serão iguais.
 
ITEM CORRETO.
 
 
(A)  I, II e IV.
 
(B)  II e III.
 
(C)  I e III.
 
(D)  II, III e IV.
 
(E)  I e IV.
 
 
II.  Se as variáveis X e Y possuem coeficiente de correlação linear de Pearson igual a 1 então o diagrama de dispersão entre
X e Y é uma reta que passa  pela origem, isto é, é uma reta que passa pelo ponto (0,0).
 
Resolução
 
Só podemos garantir que o diagrama de dispersão se comporta como uma reta, e mais que isso: uma reta com coeficiente angular positivo. Mas não podemos garantir que tal reta passa pela origem. Em síntese, nada sabemos sobre seu coeficiente linear.
 
ITEM ERRADO.
 
(A)  I, II e IV.
 
(C)  I e III.
 
(E)  I e IV.

 

 
III.  Suponha que ajustamos o modelo  hat y = a + bx  aos dados da amostra  (x_1, , y_1), cdots , (x_n, , y_n) , onde ab são, respectivamente, os estimadores de mínimos quadrados dos parâmetros α e β do modelo de regressão linear. Nessas condições, o coeficiente de determinação é interpretado como a proporção da variabilidade dos y’s observados explicada por tal modelo.
 
ITEM CORRETO, esta é realmente a interpretação do coeficiente de determinação. Sua fórmula é dada por:
 
{SQM over SQT}
 
Em que SQM representa a soma de quadrados do modelo de regressão e SQT representa a soma de quadrados total. Logo, o coeficiente de determinação realmente nos dá o quanto da variação total é explicada pela variação do modelo.
 
(C)  I e III.
 
(E)  I e IV.
 
Resposta: C

IV.  O histograma da variável X é um gráfico não apropriado quando X tem distribuição assimétrica.
 
ITEM ERRADO.
 
Um histograma pode ser utilizado tanto para variáveis simétricas, quanto assimétricas, e para qualquer tipo de assimetria. O único requisito é o de que os dados estejam agrupados em classes, pois precisaremos associar frequências (ou densidades de frequências) a classes de valores.

20.  Em uma repartição pública os processos que chegam para análise e deferimento são distribuídos com igual probabilidade para
4 auditores: A, B, C e D. Sabe-se que as probabilidades dos auditores A, B, C e D não deferirem um processo são dadas, respectivamente, por 30%, 35%, 22% e 33%. Nessas condições, a probabilidade de um processo, escolhido ao acaso, ser deferido é igual a
 
(A)  60%.
(B)  70%.
(C)  72%.
(D)  75%.
(E)  65%.
 
Resolução
 
O exercício deu as chances de indeferimento: 0,3; 0,35; 0,22 e 0,33.
 
Como todos os auditores têm a mesma chance de receber cada processo, então a chance geral de indeferimento é simplesmente a média aritmética dos valores acima:
 
{0,3+0,35+0,22+0,33 over 4} = 0,3
 
Pela probabilidade do evento complementar, concluímos que a chance geral de deferimento fica:
 
1-0,3=0,7
 
Resposta: B

 
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Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).