PMBA/2020 – Questões de Probabilidade e Equivalência Lógica

22 jan 2020 | Atualizado em 03 de março de 2020

[Artigo atualizado em 22/01/2020, com correção nos comentários]

Boa tarde, pessoal.

Recebi por email o seguinte pedido de um aluno do TEC referente ao concurso da soldado da PM-BA aplicado no dia 19/01/2020.

Olá professores, poderiam me ajudar a elaborar recursos prováveis e que os senhores entendem que cabe anulação ? 
Quero fundamentação para o recurso das questão:
13) Uma loja de eletroeletrônicos decide realizar o sorteio de dois brindes para os clientes que comprarem um televisor. 
No total, 200 clientes realizaram a compra de televisor e concorreram aos brindes, sendo 120 mulheres e 80 homens. 
Considerando que ao ganhar um brinde não se pode concorrer a outro brinde, assinale a alternativa que apresenta corretamente a probabilidade de que os ganhadores sejam um homem e uma mulher.
a) 50/199
c) 9/40
e) 6/25
b) 1/4
d) 48/199

15) Analise a proposição composta a seguir. 
Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo. 
Assinale a alternativa que apresenta a  negação dessa proposição composta.
a) Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo
b) Maria não viaja para o Rio de Janeiro e Fernando não viaja para São Paulo
c) Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo
d) Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo
e) Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo

As duas questões realmente possuem erros que justificam anulações. Vejam comentários.

Comentário da questão 13

Encontramos a probabilidade dividindo os casos favoráveis (maneiras de escolher 1 mulher e 1 homem) pelos casos possíveis (todas as maneiras de escolher 2 pessoas). Seu cálculo, portanto, envolve duas questões de análise combinatória, uma para o numerador (cálculo do número de casos favoráveis) e uma para o denominador (cálculo de número de casos possíveis).

Muitas vezes nesses cálculos é indiferente considerar se a ordem de escolha importa ou não. O importante é manter a coerência, por exemplo, se no numerador consideramos que a ordem importa, então no denominador também devemos considerar que a ordem de escolha importa.

1^a solução: a ordem não importa.

A quantidade de casos favoráveis é o número de maneiras para escolher um homem e uma mulher.

Como a ordem não importa, podemos fixar a ordem de escolha, por exemplo, considerando que a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa escolhida é mulher.

Para a primeira escolha, temos 80 opções, pois são 80 homens.

1^a escolha	2^a escolha
80

Para a segunda escolha, temos 120 opções, as 120 mulheres.

1^a escolha	2^a escolha
80	120

Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) existem $80 \times 120$ casos favoráveis.

O número de casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.

Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de $120 + 80 = 200$ clientes.

Como a ordem não importa e não há reposição, estamos em um caso de combinação. O número de casos possíveis é dado pela combinação de 200 pessoas tomadas 2 a 2:

$C_{200, 2} = \frac{200 \times 199}{2}$

A probabilidade é dada pela divisão dos $80 \times 120$ favoráveis com os $\frac{200 \times 199}{2}$ casos possíveis:

$\frac{80 \times 120}{\frac{200 \times 199}{2}}$

Simplificando essa expressão, obtemos:

$\frac{96}{199}$

Não há alternativa correta e a questão devia ter sido anulada.

2^a solução: a ordem importa.

Casos favoráveis.

Primeiramente fixamos a ordem: a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa é mulher.

Vimos acima que as maneiras de realizar essa escolha vale $80 \times 120$ .

Mas agora estamos considerando que a ordem de escolha importa, e temos um total de 2 ordens possíveis:

HM (primeira pessoa é homem e segunda pessoa é mulher)
MH (primeira pessoa escolhida é mulher e a segunda é homem)

Para cada uma dessas sequências há $80 \times 120$ possibilidades, então para as duas sequências existem:

$2 \times 80 \times 120$ casos favoráveis.
Casos possíveis.

O número de casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.

Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de $120 + 80 = 200$ clientes. Portanto, temos 200 maneiras de escolher a 1^a pessoa.

Para a escolha da segunda pessoa, restam $200 - 1 = 199$ opções, já que 1 das 200 pessoas já foi escolhida.

Aplicando o PFC, são $200 \times 199$ casos possíveis.

Probabilidade.

A probabilidade é dada pela divisão dos $2 \times 80 \times 120$ casos favoráveis com os $200 \times 199$ casos possíveis:

$\frac{2 \times 120 \times 80}{200 \times 199}$

Simplificando essa expressão, obtemos:

$\frac{96}{199}$

Gabarito preliminar: Letra D.

Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.

Comentário da questão 15

“Maria viaja para o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São Paulo” é um bicondicional do tipo:

$a \leftrightarrow b$

Em que:

$a$ : Maria viaja para o Rio de Janeiro
$b$ : Fernando viaja para São Paulo

Um bicondicional “ $a \leftrightarrow b$ ” somente é verdadeiro quando as duas parcelas têm valores lógicos iguais.

Portanto, a negação de um bicondicional somente será verdadeira quando ocorrer o contrário: uma parcela é V e a outra é F.

Esse é o mesmo resultado da disjunção exclusiva “ $a \underline{\lor} b$ “: é verdadeira quando uma parcela é V e a outra é F. E o mesmo ocorre com a disjunção exclusiva $\neg a \underline{\lor} \neg b$ .

Assim, as proposições “ $\neg (a \leftrightarrow b)$ ” , “ $a \underline{\lor} b$ ” e “ $\neg a \underline{\lor} \neg b$ ” são equivalentes, possuem a mesma tabela verdade:

$a$	$b$	$\neg (a \leftrightarrow b)$	$a \underline{\lor} b$	$\neg a \underline{\lor} \neg b$
V	V	F	F	F
V	F	V	V	V
F	V	V	V	V
F	F	F	F	F

Vimos que a negação de bicondicional “ $a \leftrightarrow b$ ” equivale a uma disjunção exclusiva exposta na letra C:

$a \underline{\lor} b$ .

Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo

Equivale também à disjunção exclusiva exposta na letra D:

$\neg a \underline{\lor} \neg b$

Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo

Há duas alternativas corretas e a questão deve ser anulada.

Gabarito preliminar: Letra C.

Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.