Matemática Financeira – TST
Por: Vítor Menezes
Olá pessoal. Vamos comentar rapidamente a prova do TST.
Vejo um recurso na questão 70. Não sei se a chance de provimento é alta, mas não custa tentar.
67. Um empréstimo foi obtido para ser liquidado em 10 parcelas mensais de R$ 2.000,00, vencendo-se a primeira parcela um mês após a data da obtenção. A taxa de juros negociada com a instituição financeira foi 2% ao mês no regime de capitalização composta. Se, após o pagamento da oitava parcela, o devedor decidir liquidar o saldo devedor do empréstimo nesta mesma data, o valor que deverá ser pago, desprezando-se os centavos, é, em reais,
(A) 3.846,00.
(B) 3.883,00.
(C) 3.840,00.
(D) 3.880,00.
(E) 3.845,00.
Resolução
Queremos antecipar as duas últimas prestações.
A 9ª prestação será antecipada em 1 mês. Seu valor atual fica:
2.000 over 1,02
Basta dividir por (1+i), em que i é a taxa de juros.
A 10ª prestação será antecipada em 2 meses. Seu valor atual fica:
2.000 over 1,02^2
Agora dividimos por (1+i)^2, pois são 2 períodos de antecipação.
Agora basta somar as duas quantias:
{2.000 over 1,02}+{2.000 over 1,02^2}
Esta conta é meio chata de fazer na mão. Então podemos aproximar.
Acima estamos usando o desconto racional composto, que é aquele que guarda correspondência com os juros compostos.
Se usássemos o desconto comercial simples, tanto os 2% de desconto da primeira prestação, quanto os 2% + 2% = 4% de desconto da segunda prestação, todos eles incidiriam sobre o valor cheio (R$ 2.000,00).
Teríamos um desconto total de 2% + 4% = 6% de R$ 2.000,00.
0,06 times 2.000 = 120
O valor a ser pago seria dado pela soma das duas prestações (R$ 2.000,00 + R$ 2.000,00), menos o desconto.
2.000 + 2.000 – 120 = 3.880
O valor a ser pago seria de R$ 3.880,00.
Contudo, como estamos na prática usando o desconto racional composto, que é um desconto por dentro, o valor do desconto é sempre menor, ou seja, é inferior a R$ 120,00. Então o valor a ser pago será um pouco maior que R$ 3.880,00.
Resposta: B
Outra opção é fazer a conta exata:
{2.000 over 1,02}+{2.000 over 1,02^2} = 3.883,12
68. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em títulos que remuneram à taxa de juros compostos de 10% ao ano e o prazo para resgate da aplicação foi de 2 anos. Sabendo-se que a inflação no prazo total da aplicação foi 15%, a taxa real de remuneração obtida pelo investidor no prazo total da aplicação foi
(A) 5,00%.
(B) 6,00%.
(C) 5,22%.
(D) 5,00% (negativo).
(E) 4,55%.
Resolução
Se a taxa nominal (i_a) é de 10% para um ano, então a taxa para dois anos (i_b) será de 21%. Basta capitalizar duas vezes.
Vejam:
(1+i_b)=(1+i_a)^2
1+i_b = 1,1^2
1+i_b = 1,21
i_b=0,21
A taxa nominal de 21% e a inflação de 15%, ambas para o período de dois anos.
Se nos fosse permitido simplesmente subtrair, teríamos uma taxa real de 21% – 15% = 6%.
A resposta seria letra "B".
Contudo, como temos na verdade uma incidência composta (a taxa de inflação incide sobre a taxa real para produzir a taxa nominal), então precisamos de um pouco menos de 6% de taxa real para produzir a mesma taxa nominal. Ficamos entre as letras A, C e E.
A letra "A" provavelmente está errada, pois dificilmente conseguiremos uma taxa "redonda". Entre a "C" e a "E" eu vou de letra "C", que apresenta um valor mais próximo de 6%.
Fazendo a conta, temos:
1+i = (1+r) times (1+j)
Acima, i é a taxa nominal (21%), r é a taxa real (desconhecida) e j é a taxa de inflação (15%).
1+21% = (1+r) times (1+15%)
1+r = {1,21 over 1,15}
1+r approx 1,0522
r approx 5,22%
Realmente ficamos com a letra C.
Resposta: C
Observação: em geral, multiplicar é mais rápido que dividir. Então o candidato poderia apenas testar uma das opções (A, C ou E), para ver qual marcar.
Exemplificando, poderíamos testar a letra A, que é a opção do meio:
(1+r) times (1+j)
1,05 times 1,15
=1,2075
= 1 + 20,75%
Chegaríamos a uma taxa nominal de apenas 20,75%. Para aumentar esse valor para 21%, precisaríamos de uma taxa real um pouco maior que 5%. Descartamos as letras "A" e "E" e ficamos com a letra C.
69. Uma empresa obteve um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 para ser liquidado em uma única parcela no final do prazo de 2 meses. A taxa de juros compostos negociada foi 3% ao mês e a empresa deve pagar, adicionalmente, na data da obtenção do empréstimo, uma taxa de cadastro no valor de R$ 1.000,00. Na data do vencimento do empréstimo a empresa deve pagar, junto com o valor que pagará à instituição financeira, um imposto no valor de R$ 530,00. O custo efetivo total para a empresa no prazo do empréstimo, foi
(A) 7,70%.
(B) 6,09%.
(C) 7,62%.
(D) 6,00%.
(E) 7,16%.
Resolução
A empresa pega R$ 100.000,00 emprestados. Sobre este montante, paga 3% de juros compostos, após dois meses. O montante fica:
M=100.000 times 1,03^2 = 106.090
O problema são os valores adicionais pagos. A tabela abaixo consolida tudo. Estou usando sinal "+" para o que a empresa recebe de dinheiro e sinal "-" para o que ela paga de dinheiro.
| Valores originais | Valores extras | Valores líquidos | |
| Data 0 | +100.000 (valor do empréstimo) | -1.000 (taxa) | +99.000,00 |
| Data 2 | -106.090 (montante do empréstimo) | -530 (imposto) | -106.620,00 |
Então, na prática, a empresa recebeu R$ 99.000,00 e, dois meses depois, teve que desembolsar R$ 106.620,00.
A taxa efetiva é aquela, para o período, transforma um capital de 99 mil reais em 106.620:
106.620 = 99.000 times (1+i)
(1+i) = {106.620 over 99.000}
(1+i) = 1,077
i=7,7%
Resposta: A
Observação: veja que a questão pediu a taxa efetiva já para o período de dois meses:
O custo efetivo total para a empresa no prazo do empréstimo, foi…
Se a questão tivesse pedido a taxa efetiva mensal, aí ficaríamos com:
(1+i)^2 = 1,077
Ainda precisaríamos tirar a raiz quadrada para achar a resposta.
70. Uma pessoa tem uma dívida a ser cumprida que é composta das seguintes parcelas:
− Uma parcela de R$ 2.000,00 que vence daqui a um mês.
− Uma parcela de R$ 3.000,00 que vence daqui a 2 meses.
− Uma parcela de R$ 4.000,00 que vence daqui a 3 meses.
A taxa de juros compostos que está sendo cobrada é 4% ao mês. Se a pessoa decidir liquidar integralmente o empréstimo na data de vencimento da parcela de R$ 2.000,00, o valor total que deve ser pago nesta data, desprezando-se os centavos, é em reais,
(A) 8.583,00.
(B) 8.001,00.
(C) 8.560,00.
(D) 8.588,00.
(E) 8.253,00.
Resolução:
Para calcular o valor atual de cada prestação, basta dividir por (1+i)^n, em que i é a taxa de juros (4%) e n é o número de períodos de antecipação.
Ficaremos com:
{2.000 over 1,04^0} + {3.000 over 1,04^1} + {4.000 over 1,04^2}
Essa conta vai dar um pouco de trabalho para fazer.
Acima estamos usando o desconto racional composto, que é aquele que guarda correspondência com os juros compostos.
Se usássemos o desconto comercial simples, teríamos 4% incidindo sobre a prestação de R$ 3.000,00; e depois 4% + 4% = 8% incidindo sobre a prestação de R$ 4.000,00. O desconto total seria de:
0,04 times 3.000+ 0,08 times 4.000
= 120+320
=440
O valor total pago seria de:
2.000+3.000+4.000-440=8.560
A resposta seria letra C.
Contudo, como temos que usar desconto racional composto, o valor do desconto será um pouco menor que 440. De modo que o valor pago será um pouco maior que 8.560. Isso nos deixa entre as letras A e D, que apresentam entre si uma diferença de cerca R$ 5,00.
A diferença é realmente muito pequena, de modo que eu prefiro fazer a conta para não arriscar.
{2.000 over 1,04^0} + {3.000 over 1,04^1} + {4.000 over 1,04^2}
2.000 + 2.884,62 + 3.698,22
approx 8.582,84
Resposta: A
Notem que a letra "A" aproximou o resultado para o número inteiro mais próximo.
Mas a questão na verdade pediu para "desprezar os centavos". A rigor a resposta deveria então ser R$ 8.582,00, que não consta em nenhuma das alternativas.
Creio que até daria para pedir um recurso; não sei se a chance de provimento é alta, mas tentar não custa.