Matemática Financeira – TST

Por: Vítor Menezes

Olá pessoal. Vamos comentar rapidamente a prova do TST. 
 
Vejo um recurso na questão 70. Não sei se a chance de provimento é alta, mas não custa tentar.
 

67.  Um empréstimo foi obtido para ser liquidado em 10 parcelas mensais de R$ 2.000,00, vencendo-se a primeira parcela um mês após  a  data da  obtenção.  A taxa  de  juros  negociada  com  a  instituição  financeira  foi 2%  ao mês  no  regime de capitalização composta. Se, após o pagamento da oitava parcela, o devedor decidir liquidar o saldo devedor do empréstimo nesta mesma data, o valor que deverá ser pago, desprezando-se os centavos, é, em reais,  
 
(A)  3.846,00.
 
(B)  3.883,00.
 
(C)  3.840,00.
 
(D)  3.880,00.
 
(E)  3.845,00.
 

Resolução
 
Queremos antecipar as duas últimas prestações.
 
A 9ª prestação será antecipada em 1 mês. Seu valor atual fica:
 
2.000 over 1,02
 
Basta dividir por (1+i), em que i é a taxa de juros.
 
A 10ª prestação será antecipada em 2 meses. Seu valor atual fica:
 
2.000 over 1,02^2
 
Agora dividimos por (1+i)^2, pois são 2 períodos de antecipação.
 
Agora basta somar as duas quantias:
 
{2.000 over 1,02}+{2.000 over 1,02^2}
 
Esta conta é meio chata de fazer na mão. Então podemos aproximar.
 
Acima estamos usando o desconto racional composto, que é aquele que guarda correspondência com os juros compostos.
 
Se usássemos o desconto comercial simples, tanto os 2% de desconto da primeira prestação, quanto os 2% + 2% = 4% de desconto da segunda prestação, todos eles incidiriam sobre o valor cheio (R$ 2.000,00).
 
Teríamos um desconto total de 2% + 4% = 6% de R$ 2.000,00.
 
0,06 times 2.000 = 120
 
O valor a ser pago seria dado pela soma das duas prestações (R$ 2.000,00 + R$ 2.000,00), menos o desconto.
 
2.000 + 2.000 – 120 = 3.880
 
O valor a ser pago seria de R$ 3.880,00.
 
Contudo, como estamos na prática usando o desconto racional composto, que é um desconto por dentro, o valor do desconto é sempre menor, ou seja, é inferior a R$ 120,00. Então o valor a ser pago será um pouco maior que R$ 3.880,00.
 
Resposta: B
 
Outra opção é fazer a conta exata:
 
 
{2.000 over 1,02}+{2.000 over 1,02^2} = 3.883,12
 

68.  Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em títulos que remuneram à taxa de juros compostos de 10% ao ano e o prazo para resgate da aplicação foi de 2 anos. Sabendo-se que a inflação no prazo total da aplicação foi 15%, a taxa real de remuneração obtida pelo investidor no prazo total da aplicação foi
 
(A)  5,00%.
 
(B)  6,00%.
 
(C)  5,22%.
 
(D)  5,00% (negativo).
 
(E)  4,55%.
 
Resolução
 
Se a taxa nominal (i_a) é de 10% para um ano, então a taxa para dois anos (i_b) será de 21%. Basta capitalizar duas vezes.
 
Vejam:
 
(1+i_b)=(1+i_a)^2
 
1+i_b = 1,1^2
 
1+i_b = 1,21
 
i_b=0,21
 
A taxa nominal de 21% e a inflação de 15%, ambas para o período de dois anos.
 
Se nos fosse permitido simplesmente subtrair, teríamos uma taxa real de 21% – 15% = 6%.
 
A resposta seria letra "B".
 
Contudo, como temos na verdade uma incidência composta (a taxa de inflação incide sobre a taxa real para produzir a taxa nominal), então precisamos de um pouco menos de 6% de taxa real para produzir a mesma taxa nominal. Ficamos entre as letras A, C e E.
 
A letra "A" provavelmente está errada, pois dificilmente conseguiremos uma taxa "redonda". Entre a "C" e a "E" eu vou de letra "C", que apresenta um valor mais próximo de 6%.
 
Fazendo a conta, temos:
 
1+i = (1+r) times (1+j)
 
Acima, i é a taxa nominal (21%), r é a taxa real (desconhecida) e j é a taxa de inflação (15%).
 
1+21% = (1+r) times (1+15%)
 
1+r = {1,21 over 1,15}
 
1+r approx 1,0522
 
r approx 5,22%
 
Realmente ficamos com a letra C.
 
Resposta: C
 
Observação: em geral, multiplicar é mais rápido que dividir. Então o candidato poderia apenas testar uma das opções (A, C ou E), para ver qual marcar.
 
Exemplificando, poderíamos testar a letra A, que é a opção do meio:
 
(1+r) times (1+j)
 
1,05 times 1,15
 
=1,2075
 
= 1 + 20,75%
 
Chegaríamos a uma taxa nominal de apenas 20,75%. Para aumentar esse valor para 21%, precisaríamos de uma taxa real um pouco maior que 5%. Descartamos as letras "A" e "E" e ficamos com a letra C.
 

69.  Uma empresa obteve um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 para ser liquidado em uma única parcela no final do prazo de 2 meses. A taxa de juros compostos negociada foi 3% ao mês e a empresa deve pagar, adicionalmente, na data da obtenção do empréstimo, uma taxa de cadastro no valor de R$ 1.000,00. Na data do vencimento do empréstimo a empresa deve pagar, junto com o valor que pagará à instituição financeira, um imposto no valor de R$ 530,00. O custo efetivo total para a empresa no prazo do empréstimo, foi
 
(A)  7,70%.
 
(B)  6,09%.
 
(C)  7,62%.
 
(D)  6,00%.
 
(E)  7,16%.

 
Resolução
 
 
A empresa pega R$ 100.000,00 emprestados. Sobre este montante, paga 3% de juros compostos, após dois meses. O montante fica:
 
M=100.000 times 1,03^2 = 106.090
 
O problema são os valores adicionais pagos. A tabela abaixo consolida tudo. Estou usando sinal "+" para o que a empresa recebe de dinheiro e sinal "-" para o que ela paga de dinheiro.
 
  Valores originais Valores extras Valores líquidos
Data 0 +100.000 (valor do empréstimo) -1.000 (taxa) +99.000,00
Data 2 -106.090 (montante do empréstimo) -530 (imposto) -106.620,00
 
 
Então, na prática, a empresa recebeu R$ 99.000,00 e, dois meses depois, teve que desembolsar R$ 106.620,00.
 
A taxa efetiva é aquela, para o período, transforma um capital de 99 mil reais em 106.620:
 
106.620 = 99.000 times (1+i)
 
(1+i) = {106.620 over 99.000}
 
(1+i) = 1,077
 
i=7,7%
 
 
Resposta: A
 
 
Observação: veja que a questão pediu a taxa efetiva já para o período de dois meses:
 
O custo efetivo total para a empresa no prazo do empréstimo, foi…
 
Se a questão tivesse pedido a taxa efetiva mensal, aí ficaríamos com:
 
(1+i)^2 = 1,077
 
Ainda precisaríamos tirar a raiz quadrada para achar a resposta.
 
 

70.  Uma pessoa tem uma dívida a ser cumprida que é composta das seguintes parcelas:
 
−  Uma parcela de R$ 2.000,00 que vence daqui a um mês.
−  Uma parcela de R$ 3.000,00 que vence daqui a 2 meses.
−  Uma parcela de R$ 4.000,00 que vence daqui a 3 meses.
 
A taxa de juros compostos que está sendo cobrada é 4% ao mês. Se a pessoa decidir liquidar integralmente o empréstimo na data de vencimento da parcela de R$ 2.000,00, o valor total que deve ser pago nesta data, desprezando-se os centavos, é em reais,  
 
(A)  8.583,00.
 
(B)  8.001,00.
 
(C)  8.560,00.
 
(D)  8.588,00.
 
(E)  8.253,00.
 
Resolução:
 
Para calcular o valor atual de cada prestação, basta dividir por (1+i)^n, em que i é a taxa de juros (4%) e n é o número de períodos de antecipação.
 
Ficaremos com:
 
{2.000 over 1,04^0} + {3.000 over 1,04^1} + {4.000 over 1,04^2}
 
Essa conta vai dar um pouco de trabalho para fazer.
 
Acima estamos usando o desconto racional composto, que é aquele que guarda correspondência com os juros compostos.
 
Se usássemos o desconto comercial simples, teríamos 4% incidindo sobre a prestação de R$ 3.000,00; e depois 4% + 4% = 8% incidindo sobre a prestação de R$ 4.000,00. O desconto total seria de:
 
0,04 times 3.000+ 0,08 times 4.000
 
= 120+320
 
=440
 
O valor total pago seria de:
 
2.000+3.000+4.000-440=8.560
 
A resposta seria letra C.
 
Contudo, como temos que usar desconto racional composto, o valor do desconto será um pouco menor que 440. De modo que o valor pago será um pouco maior que 8.560. Isso nos deixa entre as letras A e D, que apresentam entre si uma diferença de cerca R$ 5,00.
 
A diferença é realmente muito pequena, de modo que eu prefiro fazer a conta para não arriscar.
 
{2.000 over 1,04^0} + {3.000 over 1,04^1} + {4.000 over 1,04^2}
 
2.000 + 2.884,62 + 3.698,22
 
approx 8.582,84
 
Resposta: A
 
Notem que a letra "A" aproximou o resultado para o número inteiro mais próximo.
 
Mas a questão na verdade pediu para "desprezar os centavos". A rigor a resposta deveria então ser R$ 8.582,00, que não consta em nenhuma das alternativas.
 
Creio que até daria para pedir um recurso; não sei se a chance de provimento é alta, mas tentar não custa.
 

Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).