Juros simples e juros compostos

Por: Vítor Menezes

Juros simples e compostos: o que são? Qual a diferença entre eles? Quais as fórmulas? Vamos entender tudo nesse artigo!

O que são juros?

Juros simples

Fórmula de juros simples

Juros compostos

Fórmula de juros compostos

Estude e pratique

O que são os juros?

No nosso dia a dia, estamos acostumados com juros. Quando atrasamos o pagamento de uma conta de luz, ou o pagamento da fatura do cartão de crédito, temos que “pagar mais caro”. Esse acréscimo é devido, entre outras coisas, aos juros cobrados.

Assim, é imediato, em nossa cabeça, associar “juros” com o aumento no valor devido. E isso não está errado, mas ainda não responde à nossa pergunta. Afinal de contas, o que são os juros?

Imagine que você precise de um lugar para morar e que não tenha dinheiro para comprar sua própria casa. O que você faz?

Você aluga a casa de outra pessoa. 

Para que isso seja possível, essa outra pessoa deve, primeiro, possuir uma casa que não esteja usando; segundo, precisa disponibilizá-la para um terceiro. 

Feito o contrato de aluguel, você se muda, leva seus móveis, suas roupas, seus pertences, e começa a residir num novo lugar. No final do mês, você recebe pelo correio um boleto para pagar. É o boleto de aluguel. 

Pelo fato de você estar usando a casa que é de outra pessoa, todo mês você deve a ela uma remuneração, a qual chamamos de aluguel. 

Por que temos que pagar esse aluguel?

Basta você se colocar no lugar do proprietário, que fica bem claro o motivo da cobrança. Aquele imóvel tem uma série de custos: IPTU, manutenção, taxa de esgoto etc. Qual o sentido em se manter um imóvel desocupado, que acarreta em vários custos? Seria muito melhor vender o imóvel, receber o dinheiro, e usá-lo para outra coisa. 

Assim, uma parte do valor do aluguel será utilizada para cobrir os custos acima indicados. Mas isso ainda não é tudo.

Mesmo que o imóvel fosse isento de impostos e taxas, mesmo que ele dispensasse qualquer manutenção (caso de um lote), ainda teríamos o chamado custo de oportunidade.

O imóvel é um investimento. O proprietário gastou dinheiro em sua aquisição, e agora o dinheiro está “parado”. Se o imóvel não trouxer a seu proprietário qualquer rendimento, do ponto de vista financeiro, seria muito melhor vendê-lo, para em seguida aplicar o dinheiro em algum fundo de investimentos.

Se o proprietário não faz isso, ou seja, se ele mantém o dinheiro “parado”, está incorrendo no chamado custo de oportunidade. É o valor que ele deixa de ganhar num investimento alternativo.

Assim, do ponto de vista financeiro, só faz sentido deixar uma casa vazia se pudermos disponibilizá-la para aluguel, o que nos dará um rendimento, que cobrirá todos os custos acima elencados (taxas, impostos, despesas de manutenção e custo de oportunidade). 

O exemplo que demos acima para a casa valeria para vários outros bens. Podemos alugar um carro (por exemplo, na Hertz), um quarto (no Ibis), uma bicicleta (Yellowbike), e assim por diante.

E poderíamos alugar dinheiro. É para isso que servem os bancos. 

Se alguém possui determinada quantia em dinheiro que não vai usar, pode emprestá-la a um terceiro. Em troca, cobrará um “aluguel” por esse uso. A este aluguel, chamamos de juros. 

Assim, juros são a remuneração paga por se utilizar dinheiro de outra pessoa. 

Juros simples

Entendido que os juros são uma remuneração paga para quem empresta o dinheiro, vamos agora entender como esta remuneração é calculada. Suponha que eu precise de dinheiro, e peça emprestado R$ 10.000,00 ao meu amigo Paulo. Essa quantia que será emprestada é geralmente chamada de “capital”.

Na vida real, Paulo me dirá para ir procurar um banco, afinal, “amigos, amigos; negócios à parte”. Mas, aqui no nosso exemplo, suponhamos que ele aceite me emprestar tal quantia. Nós combinamos que eu quitarei a dívida após 5 meses, e acertamos uma taxa de juros de 2% ao mês.

O que isso significa?

Isso significa que, ao final do primeiro mês, o “aluguel” que eu devo para Paulo será de 2% dos R$ 10.000,00. 

$$2 \% \times 10.000{,}00 = 200$$

Ou seja, o aluguel devido no primeiro mês será de R$ 200,00.

Eu até já poderia pagar a ele os R$ 200,00, mas não foi esse o combinado. O acordo foi que eu só lhe pagaria depois de 5 meses, certo?

Portanto, agora eu lhe devo os R$ 10.000,00 inicialmente emprestados, mais os R$ 200,00 de juros, totalizando R$ 10.200,00.

Então vamos anotar o comportamento da minha dívida até o momento.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mbox{Mês} & \mbox{Dívida no começo do mês} & \mbox{Juros do período} & \mbox{Dívida no fim do mês} \\ \hline 01 & 10.000,00 & 200,00 & 10.200,00 \\ \hline \end{array}$$

Quando passar o segundo mês, passarei a dever novo aluguel de 2%.

Como calcular esse segundo aluguel?

Se os 2% incidirem novamente sobre a quantia inicialmente emprestada, ou seja, sobre os R$ 10.000,00, estamos diante do regime chamado de Juros simples.

Juros simples: regime no qual a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial.

No nosso exemplo, teremos novamente 2% de 10.000,00:

$$2 \% \times 10.000{,}00 = 200$$

Nossa dívida passa a ser de:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mbox{Mês} & \mbox{Dívida no começo do mês} & \mbox{Juros do período} & \mbox{Dívida no fim do mês} \\ \hline 01 & 10.000{,}00 & 200 {,} 00 & 10.200 {,} 00 \\ \hline 02 & 10.200 {,} 00 & 200 {,} 00 & 10.400 {,} 00 \\ \hline \end{array}$$

Nos meses seguintes, tudo se repete. A cada novo mês eu passo a dever novo “aluguel” de R$ 200,00.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mbox{Mês} & \mbox{Dívida no começo do mês} & \mbox{Juros do período} & \mbox{Dívida no fim do mês} \\ \hline 01 & 10.000{,}00 & 200 {,} 00 & 10.200 {,} 00 \\ \hline 02 & 10.200 {,} 00 & 200 {,} 00 & 10.400 {,} 00 \\ \hline 03 & 10.400 {,}00 & 200 {,}00 & 10.600 {,}00 \\ \hline 04 & 10.600{,}00 & 200 {,}00 & 10.800 {,}00 \\ \hline 05 & 10.800 {,}00 & 200 {,}00 & 11.000 {,}00 \\ \hline \end{array}$$

Portanto, no fim do quinto mês, para quitar a dívida, devo pagar a Paulo a quantia de R$ 11.000,00.

Fórmula de juros simples

No exemplo acima, a quantia inicialmente emprestada é chamada de “capital”, com símbolo “C”.

$$ C = 10.000{,}00$$

Já a quantia final paga, é chamada de “Montante”, símbolo “M”

$$M = 11.000{,}00$$

A taxa de juros de 2% é simbolizada pela letra “i”.

$$i = 2\% $$

O número de períodos que durou a transação é simbolizado por “n”. No nosso caso, foram 5 meses.

$$n = 5$$

Como obtivemos o montante de R$ 11.000,00?

Simples! Basta somar a dívida inicial de 10.000,00, com R$ 200,00 de juros para cada um dos 5 meses. Fica assim:

$$M = 10.000 + 5 \times 200 $$

Relembrando que R$ 10.000,00 corresponde ao capital (C) e que 5 corresponde ao número de períodos (n).

$$M = C + n \times 200$$

E de onde veio esse 200? Ora, ele corresponde a 2% de 10.000,00.

$$ M = C + n \times (2\% \times 10.000)$$

$$ M = C + n \times (2\% \times C)$$

Sabemos que 2% corresponde à taxa de juros “i”

$$M = C + n \times i \times C$$

Colocando “C” em evidência:

$$ \boxed{\color{red}{M = C \times (1+n \times i)}} $$

Que é a fórmula para cálculo do montante sob o regime de juros simples.

Juros compostos

Voltemos ao exemplo do empréstimo dos R$ 10.000,00, para serem pagos após 5 meses, com taxa de 2% ao mês.

Vimos que, no fim do primeiro mês, passamos a dever 2% de juros:

$$2\% \times 10.000 = 200$$

A tabela contendo a evolução de nossa dívida fica assim:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mbox{Mês} & \mbox{Dívida no começo do mês} & \mbox{Juros do período} & \mbox{Dívida no fim do mês} \\ \hline 01 & 10.000{,}00 & 200 {,} 00 & 10.200 {,} 00 \\ \hline \end{array}$$

Até aqui, nada mudou em relação ao exemplo anterior.

Quando passa o segundo mês, teremos novamente juros de 2%, que é o “aluguel” que eu devo a Paulo. Como calcular esse segundo aluguel?

Caso esses juros incidam sobre o valor atualizado da dívida, isto é, sobre os R$ 10.200,00, então estamos diante do regime de juros compostos.

Juros compostos: regime no qual os juros incidem sobre a dívida atualizada.

Assim, os juros do segundo mês serão de:

$$2\% \times 10.200 = 204,00$$

A tabela da evolução da dívida ficará assim:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mbox{Mês} & \mbox{Dívida no começo do mês} & \mbox{Juros do período} & \mbox{Dívida no fim do mês} \\ \hline 01 & 10.000{,}00 & 200 {,} 00 & 10.200 {,} 00 \\ \hline 02 & 10.200{,}00 & 204{,}00 & 10.404{,}00 \\ \hline \end{array}$$

Ou seja, no segundo mês, aumentamos 2% sobre o total da dívida anterior, incluindo os juros do mês 01.

É por isso que chamamos de juros compostos. Porque os juros de determinado mês incide sobre os juros de todos os meses que já passaram. Há incidência de juros sobre juros. Daí o nome: juros compostos.

Continuando os cálculos, nossa dívida evoluiria assim:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mbox{Mês} & \mbox{Dívida no começo do mês} & \mbox{Juros do período} & \mbox{Dívida no fim do mês} \\ \hline 01 & 10.000{,}00 & 200 {,} 00 & 10.200 {,} 00 \\ \hline 02 & 10.200{,}00 & 204{,}00 & 10.404{,}00 \\ \hline 03 & 10.404 {,} 00 & 208 {,} 08 & 10.612 {,} 08 \\ \hline 04 & 10.612 {,} 08 & 212,24 & 10.824 {,} 32 \\ \hline 05 & 10.824 {,} 32 & 216 {,} 49 & 11.040 {,} 81 \\ \hline \end{array}$$

Ao final do quinto mês, precisarei pagar para Paulo R$ 11.040,81.

Fórmula de juros compostos

No exemplo acima, para calcular o valor da dívida em determinado mês, bastava pegar o saldo devedor anterior e acrescentar 2%. Oras, aprende-se em matemática que acrescentar 2% é o mesmo que multiplicar por

$$1 + 2\%$$

Então, para calcular o valor da dívida ao final do primeiro mês, basta pegar R$ 10.000,00 e multiplicar por 1+2%.

$$10.000 \times (1+ 2 \%)$$

Para calcular a dívida ao final do segundo mês, basta multiplicar novamente por 1+2%. Resultado.

$$ 10.000 \times (1+2\%) ^2 $$

E assim por diante. Ao final do quinto mês a dívida será de:

$$M= 10.000 \times (1+2\%)^5 $$

Generalizando, sabemos que os R$ 10.000,00 correspondem ao capital (C):

$$M = C \times (1+ 2 \%) ^5 $$

Já os 2% correspondem à taxa de juros “i”.

$$M = C \times (1+i)^5 $$

Finalmente, 5 corresponde ao número de períodos (n).

$$ \boxed{\color{red}{M = C \times (1+i)^n}} $$

Que é a fórmula do montante para juros compostos.

Estude e pratique

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Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).