FCC – Questão de juros simples

16 nov 2016

Recebi por e-mail o seguinte pedido, formulado pela Micheli, aluna do TEC:

Eu gostaria de pedir pro Prof. Vitor Menezes uma solução alternativa para a questão abaixo:
https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/253342

E se possível, simplificada (se houver).

Imensamente grata.

Micheli

A questão em apreço é da FCC, e traz uma interessante forma de cobrança do tema "juros simples".

Dois capitais, cuja soma é igual a R$ 6.300,00, foram aplicados por 5 meses a juro simples, o primeiro à taxa de 5% ao mês e o segundo à taxa de 6% ao mês. Ao final do prazo, a soma de seus montantes era igual a R$ 8.000,00. O menor desses capitais é
a) R$ 2.350,00
b) R$ 2.180,00
c) R$ 2.500,00
d) R$ 3.800,00
e) R$ 3.100,00

Micheli, quando você fala em "solução simplificada", podemos interpretar de duas formas:

(i) simples de entender – geralmente é a solução que vai direto para as fórmulas usadas em matemática financeira. É a solução estilo "receita de bolo".

(ii) simples de executar no dia da prova (ou seja, solução mais rápida, com menos contas) – geralmente exige um domínio maior de matemática financeira.

Vamos apresentar as duas formas.

1) Solução mais rápida

Seja C_a a parte aplicada à taxa de 6% ao mês e seja C_b a parte aplicada à taxa de 5% ao mês.

Se todo o capital de R$ 6.300,00 fosse aplicado a juros simples de 5%, durante 5 meses, os juros seriam de:

J=niC

J=5 times 0,05 times 6.300

J=1.575

E o montante final seria de:

M=C+J

M=6.300+1.575=7.875

Só que isto está errado. Sabemos que o montante correto é de R$ 8.000,00. Há uma diferença de:

8.000-7.875=125

Esta diferença ocorreu porque, na verdade, a parte C_a estava aplicada a 6% ao mês. E na solução acima consideramos que o capital inteiro estava aplicado a 5%.

Portanto, faltou incidir 1% sobre C_a, durante 5 meses. Os juros correspondentes terão que dar exatamente 125, para cobrir a diferença acima calculada.

125=5 times 1% times C_a

C_a={125 over 0,05}=2.500

O capital C_a, que foi aplicado à taxa de 6% ao mês, corresponde a R$ 2.500,00. A outra parte (C_b) corresponde a:

C_b=6.300-2.500=3.800

O menor dos capitais vale R$ 2.500,00. Resposta: C

2) Solução "receita de bolo".

O capital C_a é aplicado durante 5 meses, à taxa de 6% ao mês. O montante assim produzido é de:

M_a = C_a times (1+0,06 times 5)

M_a = 1,3C_a

O capital C_b é aplicado durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. O montante assim produzido é de:

M_b = C_b times (1+5 times 0,05)

M_b=1,25 C_b

O montante total vale 8.000:

M_a+M_b=8.000

1,3C_a+1,25C_b=8.000… (equação I)

Sabemos ainda que a soma dos capitais vale 6.300:

C_a+C_b=6.300

C_b=6.300-C_a …(equação II)

Substituindo II em I:

1,3C_a+1,25 times (6.300-C_a) = 8.000

1,3C_a+7.875 – 1,25C_a = 8.000

0,05C_a = 8.000-7.875

C_a= {125 over 0,05}=2.500

Resposta: C