FCC – Questão de juros simples

Por: Vítor Menezes

Recebi por e-mail o seguinte pedido, formulado pela Micheli, aluna do TEC:
 
Eu gostaria de pedir pro Prof. Vitor Menezes uma solução alternativa para a questão abaixo:
https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/253342

E se possível, simplificada (se houver).

Imensamente grata.

Micheli

 
 
A questão em apreço é da FCC, e traz uma interessante forma de cobrança do tema "juros simples".
 
 Dois capitais, cuja soma é igual a R$ 6.300,00, foram aplicados por 5 meses a juro simples, o primeiro à taxa de 5% ao mês e o segundo à taxa de 6% ao mês. Ao final do prazo, a soma de seus montantes era igual a R$ 8.000,00. O menor desses capitais é
a) R$ 2.350,00
b) R$ 2.180,00
c) R$ 2.500,00
d) R$ 3.800,00
e) R$ 3.100,00
 
Micheli, quando você fala em "solução simplificada", podemos interpretar de duas formas:
 
(i) simples de entender – geralmente é a solução que vai direto para as fórmulas usadas em matemática financeira. É a solução estilo "receita de bolo".
 
(ii) simples de executar no dia da prova (ou seja, solução mais rápida, com menos contas) – geralmente exige um domínio maior de matemática financeira.
 
Vamos apresentar as duas formas.
 
1) Solução mais rápida
 
Seja C_a a parte aplicada à taxa de 6% ao mês e seja C_b a parte aplicada à taxa de 5% ao mês.
 
Se todo o capital de R$ 6.300,00 fosse aplicado a juros simples de 5%, durante 5 meses, os juros seriam de:
 
J=niC
 
J=5 times 0,05 times 6.300
 
J=1.575
 
E o montante final seria de:
 
M=C+J
 
M=6.300+1.575=7.875
 
Só que isto está errado. Sabemos que o montante correto é de R$ 8.000,00. Há uma diferença de:
 
8.000-7.875=125
 
Esta diferença ocorreu porque, na verdade, a parte C_a estava aplicada a 6% ao mês. E na solução acima consideramos que o capital inteiro estava aplicado a 5%.
 
Portanto, faltou incidir 1% sobre C_a, durante 5 meses. Os juros correspondentes terão que dar exatamente 125, para cobrir a diferença acima calculada.
 
125=5 times 1% times C_a
 
C_a={125 over 0,05}=2.500
 
O capital C_a, que foi aplicado à taxa de 6% ao mês, corresponde a R$ 2.500,00. A outra parte (C_b) corresponde a:
 
C_b=6.300-2.500=3.800
 
O menor dos capitais vale R$ 2.500,00. Resposta: C
 
2) Solução "receita de bolo".
 
O capital C_a é aplicado durante 5 meses, à taxa de 6% ao mês. O montante assim produzido é de:
 
M_a = C_a times (1+0,06 times 5)
 
M_a = 1,3C_a
 
O capital C_b é aplicado durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. O montante assim produzido é de:
 
M_b = C_b times (1+5 times 0,05)
 
M_b=1,25 C_b
 
O montante total vale 8.000:
 
M_a+M_b=8.000
 
1,3C_a+1,25C_b=8.000(equação I)
 
Sabemos ainda que a soma dos capitais vale 6.300:
 
C_a+C_b=6.300
 
C_b=6.300-C_a(equação II)
 
Substituindo II em I:
 
1,3C_a+1,25 times (6.300-C_a) = 8.000
 
1,3C_a+7.875 – 1,25C_a = 8.000
 
0,05C_a = 8.000-7.875
 
C_a= {125 over 0,05}=2.500
 
Resposta: C
 
 
 

Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).