Definição de variável aleatória
Nos meus cursos de estatística eu trabalho simplesmente com uma noção muito vaga sobre o que é uma variável aleatória. Vários dos livros pelos quais eu mesmo estudei não traziam definições que me agradavam. Como para mim foi importante saber a definição daquilo que eu estava estudando, fui atrás, até achar o que vou detalhar a seguir.
Ressalto que nada disso vai ser cobrado em sua prova. É mais uma curiosidade para aqueles que desejarem avançar um pouco mais na matéria.
Considere uma coleção de conjuntos, chamada de
$$\mathcal{A} $$
Esta coleção é uma álgebra quando:
$$ \mathcal{C} \in \mathcal{A} \Rightarrow \overline {\mathcal {C}} \in \mathcal {A}$$
$$ A \in \mathcal A \mbox{ e } B \in \mathcal A \Rightarrow (A \cup B) \in \mathcal A $$
Se a segunda propriedade acima puder ser estendida para um número infinito e enumerável de conjuntos, ou seja, se:
$$ \mathcal C _i \in \mathcal A; \, i = 1, \, 2, \, 3, \, \cdots \to \overset{\infty}{\underset{i=1} {\cup}} \mathcal C_i \in \mathcal A $$
Então estamos diante de uma σ-álgebra.
Ok, agora considere uma pesquisa que consiste em selecionar 3 pessoas na rua e perguntar se elas são favoráveis ou contrárias a determinada política pública.
Abaixo listamos os possíveis resultados, chamando-os de “a”, “b”, “v=c”…
a: favorável, favorável, favorável
b: favorável, favorável, contra
c: favorável, contra, favorável
d: favorável, contra, contra
e: contra, favorável, favorável
f: contra, favorável, contra
g: contra , contra, favorável
h: contra, contra, contra
O conjunto de todos os possíveis resultados, chamado de espaço amostral
$$ \Omega $$
seria:
$$ \Omega: \{a, \, b, \, c, \, d, \, e, \, f, \, g, \, h\}$$
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral que pertença a uma σ-álgebra.
Vista a definição de evento, podemos prosseguir para a nossa definição de variável aleatória.
Em muitas situações, é preferível trabalhar com uma variável mais simples, que concentre exclusivamente a informação de interesse. É aí que entra a variável aleatória.
Para tanto, nos dirigimos a cada ponto amostral e associamos um valor numérico. No exemplo acima, podemos supor que o interesse recai na quantidade de pessoas favoráveis à política pública.
Neste caso, associamos a cada ponto amostral um valor, assim:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline a & 3 \\ \hline b & 2 \\ \hline c & 2 \\ \hline d & 1 \\ \hline e & 2 \\ \hline f & 1 \\ \hline g & 1 \\ \hline h & 0 \\ \hline \end{array}$$
Ou seja, a cada ponto amostral associamos um valor numérico.
Assim, a variável aleatória X nos indica o número de pessoas favoráveis à política pública.
Vejam que, no fundo, temos uma função matemática. Relembrando o conceito de função, visto lá no ensino médio: uma função é uma relação entre dois conjuntos. Uma relação especial. Ela associa a cada elemento do conjunto de partida (domínio), um único elemento do conjunto de chegada (contradomínio).
E daí vem nossa definição de variável aleatória:
Uma variável aleatória X é uma função que tem como domínio o espaço amostral e como contradomínio os números reais
(isso, evidentemente, no caso de uma variável aleatória real, que é a que nos interessa).
Mas nossa definição ainda não acabou. Vejam que:
$$ \begin{matrix} X(a) = 3 & \, & X(e) = 2 \\ X(b) = 2 & \, & X (f) = 1 \\ X(c) = 2 & \, & X(g) = 1 \\ X(d) = 1 & \, & X(h) = 0 \end{matrix} $$
Considere o conjunto “A”, formado pelos elementos de cuja imagem é menor ou igual a 2. Neste caso temos:
$$ A: \{b, \, c, \, d, \, e, \, f, \, g \}$$
Vejam que “A” é um subconjunto do espaço amostral . Ou seja, “A” é um evento. Genericamente, se em vez de 2 trabalhássemos com qualquer outro “k” real, o conjunto obtido continuaria sendo um evento. Assim, poderíamos formar o conjunto dos elementos cuja imagem é menor ou igual a 3. Ou então, menor/igual a 4. Ou menor/igual a 3.785.986. E assim por diante. Qualquer que seja o “k” escolhido, o resultado final será sempre um evento.
Por fim, observem ainda que não temos nenhum elemento tal que sua imagem seja igual a menos infinito ou mais infinito.
Com isso em mente, vamos acrescentar mais coisas à nossa definição.
Uma variável aleatória real X é uma função que tem como domínio o espaço amostral e como contradomínio os números reais e que satisfaz a:
Primeira condição:
$$ \forall k \in \mathbb R, \mbox{ o conjunto } A: \{w \in \Omega: X(w) \le k \} \mbox{ é um evento} $$
Segunda condição:
$$ P(w \in \Omega: X(w) = \infty) = P(w \in \Omega: X(w) = – \infty) = 0$$