Definição de variável aleatória

Por: Vítor Menezes

Nos meus cursos de estatística eu trabalho simplesmente com uma noção muito vaga sobre o que é uma variável aleatória. Vários dos livros pelos quais eu mesmo estudei não traziam definições que me agradavam. Como para mim foi importante saber a definição daquilo que eu estava estudando, fui atrás, até achar o que vou detalhar a seguir.

Ressalto que nada disso vai ser cobrado em sua prova. É mais uma curiosidade para aqueles que desejarem avançar um pouco mais na matéria.

Considere uma coleção de conjuntos, chamada de

$$\mathcal{A} $$

Esta coleção é uma álgebra quando:

$$ \mathcal{C} \in \mathcal{A} \Rightarrow \overline {\mathcal {C}} \in \mathcal {A}$$

$$ A \in \mathcal A \mbox{ e } B \in \mathcal A \Rightarrow (A \cup B) \in \mathcal A $$

Se a segunda propriedade acima puder ser estendida para um número infinito e enumerável de conjuntos, ou seja, se:

$$ \mathcal C _i \in \mathcal A; \, i = 1, \, 2, \, 3, \, \cdots \to \overset{\infty}{\underset{i=1} {\cup}} \mathcal C_i \in \mathcal A $$

Então estamos diante de uma σ-álgebra.

Ok, agora considere uma pesquisa que consiste em selecionar 3 pessoas na rua e perguntar se elas são favoráveis ou contrárias a determinada política pública.

Abaixo listamos os possíveis resultados, chamando-os de “a”, “b”, “v=c”…

a: favorável, favorável, favorável  

b: favorável, favorável, contra  

c: favorável, contra, favorável  

d: favorável, contra, contra  

e: contra, favorável, favorável  

f: contra, favorável, contra  

g: contra , contra, favorável  

h: contra, contra, contra

O conjunto de todos os possíveis resultados, chamado de espaço amostral

$$ \Omega $$

seria:

$$ \Omega: \{a, \, b, \, c, \, d, \, e, \, f, \, g, \, h\}$$

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral que pertença a uma σ-álgebra.

Vista a definição de evento, podemos prosseguir para a nossa definição de variável aleatória.  

Em muitas situações, é preferível trabalhar com uma variável mais simples, que concentre exclusivamente a informação de interesse. É aí que entra a variável aleatória.

Para tanto, nos dirigimos a cada ponto amostral e associamos um valor numérico. No exemplo acima, podemos supor que o interesse recai na quantidade de pessoas favoráveis à política pública.  

Neste caso, associamos a cada ponto amostral um valor, assim:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline a & 3 \\ \hline b & 2 \\ \hline c & 2 \\ \hline d & 1 \\ \hline e & 2 \\ \hline f & 1 \\ \hline g & 1 \\ \hline h & 0 \\ \hline \end{array}$$

Ou seja, a cada ponto amostral associamos um valor numérico.  

Assim, a variável aleatória X nos indica o número de pessoas favoráveis à política pública.  

Vejam que, no fundo, temos uma função matemática. Relembrando o conceito de função, visto lá no ensino médio: uma função é uma relação entre dois conjuntos. Uma relação especial. Ela associa a cada elemento do conjunto de partida (domínio), um único elemento do conjunto de chegada (contradomínio).

E daí vem nossa definição de variável aleatória:

Uma variável aleatória X é uma função que tem como domínio o espaço amostral e como contradomínio os números reais

(isso, evidentemente, no caso de uma variável aleatória real, que é a que nos interessa).

Mas nossa definição ainda não acabou. Vejam que:

$$ \begin{matrix} X(a) = 3 & \, & X(e) = 2 \\ X(b) = 2 & \, & X (f) = 1 \\ X(c) = 2 & \, & X(g) = 1 \\ X(d) = 1 & \, & X(h) = 0 \end{matrix} $$

Considere o conjunto “A”, formado pelos elementos de cuja imagem é menor ou igual a 2. Neste caso temos:

$$ A: \{b, \, c, \, d, \, e, \, f, \, g \}$$

Vejam que “A” é um subconjunto do espaço amostral . Ou seja, “A” é um evento. Genericamente, se em vez de 2 trabalhássemos com qualquer outro “k” real, o conjunto obtido continuaria sendo um evento. Assim, poderíamos formar o conjunto dos elementos cuja imagem é menor ou igual a 3. Ou então, menor/igual a 4. Ou menor/igual a 3.785.986. E assim por diante. Qualquer que seja o “k” escolhido, o resultado final será sempre um evento.

Por fim, observem ainda que não temos nenhum elemento tal que sua imagem seja igual a menos infinito ou mais infinito.

Com isso em mente, vamos acrescentar mais coisas à nossa definição.

Uma variável aleatória real X é uma função que tem como domínio o espaço amostral e como contradomínio os números reais e que satisfaz a:

Primeira condição:

$$ \forall k \in \mathbb R, \mbox{ o conjunto } A: \{w \in \Omega: X(w) \le k \} \mbox{ é um evento} $$

Segunda condição:

$$ P(w \in \Omega: X(w) = \infty) = P(w \in \Omega: X(w) = – \infty) = 0$$

Vítor Menezes

Sócio-fundador do Tec Concursos. Professor de matemática, matemática financeira, estatística e lógica. Engenheiro eletrônico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Dá aulas em cursos preparatórios para concursos públicos desde 2005. Classificado e aprovado nos concursos de Analista do MPU/2004, Agente e Escrivão da PF/2004, Auditor Fiscal do ICMS/MG/2004, Auditor Fiscal do ICMS/SP 2013 (Agente Fiscal de Rendas), Auditor Federal de Controle Externo do TCU 2006. Exerceu os cargos de Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da União (período de 2006 a 2019) e Auditor Fiscal da Sefaz/MG (2005 a 2006).