Definição de variável aleatória

Nos meus cursos de estatística eu trabalho simplesmente com uma noção muito vaga sobre o que é uma variável aleatória. Vários dos livros pelos quais eu mesmo estudei não traziam definições que me agradavam. Como para mim foi importante saber a definição daquilo que eu estava estudando, fui atrás, até achar o que vou detalhar a seguir.

Ressalto que nada disso vai ser cobrado em sua prova. É mais uma curiosidade para aqueles que desejarem avançar um pouco mais na matéria.

Considere uma coleção de conjuntos, chamada de

$$\mathcal{A} $$

Esta coleção é uma álgebra quando:

$$ \mathcal{C} \in \mathcal{A} \Rightarrow \overline {\mathcal {C}} \in \mathcal {A}$$

$$ A \in \mathcal A \mbox{ e } B \in \mathcal A \Rightarrow (A \cup B) \in \mathcal A $$

Se a segunda propriedade acima puder ser estendida para um número infinito e enumerável de conjuntos, ou seja, se:

$$ \mathcal C _i \in \mathcal A; \, i = 1, \, 2, \, 3, \, \cdots \to \overset{\infty}{\underset{i=1} {\cup}} \mathcal C_i \in \mathcal A $$

Então estamos diante de uma σ-álgebra.

Ok, agora considere uma pesquisa que consiste em selecionar 3 pessoas na rua e perguntar se elas são favoráveis ou contrárias a determinada política pública.

Abaixo listamos os possíveis resultados, chamando-os de “a”, “b”, “v=c”…

a: favorável, favorável, favorável  

b: favorável, favorável, contra  

c: favorável, contra, favorável  

d: favorável, contra, contra  

e: contra, favorável, favorável  

f: contra, favorável, contra  

g: contra , contra, favorável  

h: contra, contra, contra

O conjunto de todos os possíveis resultados, chamado de espaço amostral

$$ \Omega $$

seria:

$$ \Omega: \{a, \, b, \, c, \, d, \, e, \, f, \, g, \, h\}$$

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral que pertença a uma σ-álgebra.

Vista a definição de evento, podemos prosseguir para a nossa definição de variável aleatória.  

Em muitas situações, é preferível trabalhar com uma variável mais simples, que concentre exclusivamente a informação de interesse. É aí que entra a variável aleatória.

Para tanto, nos dirigimos a cada ponto amostral e associamos um valor numérico. No exemplo acima, podemos supor que o interesse recai na quantidade de pessoas favoráveis à política pública.  

Neste caso, associamos a cada ponto amostral um valor, assim:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline a & 3 \\ \hline b & 2 \\ \hline c & 2 \\ \hline d & 1 \\ \hline e & 2 \\ \hline f & 1 \\ \hline g & 1 \\ \hline h & 0 \\ \hline \end{array}$$

Ou seja, a cada ponto amostral associamos um valor numérico.  

Assim, a variável aleatória X nos indica o número de pessoas favoráveis à política pública.  

Vejam que, no fundo, temos uma função matemática. Relembrando o conceito de função, visto lá no ensino médio: uma função é uma relação entre dois conjuntos. Uma relação especial. Ela associa a cada elemento do conjunto de partida (domínio), um único elemento do conjunto de chegada (contradomínio).

E daí vem nossa definição de variável aleatória:

Uma variável aleatória X é uma função que tem como domínio o espaço amostral e como contradomínio os números reais

(isso, evidentemente, no caso de uma variável aleatória real, que é a que nos interessa).

Mas nossa definição ainda não acabou. Vejam que:

$$ \begin{matrix} X(a) = 3 & \, & X(e) = 2 \\ X(b) = 2 & \, & X (f) = 1 \\ X(c) = 2 & \, & X(g) = 1 \\ X(d) = 1 & \, & X(h) = 0 \end{matrix} $$

Considere o conjunto “A”, formado pelos elementos de cuja imagem é menor ou igual a 2. Neste caso temos:

$$ A: \{b, \, c, \, d, \, e, \, f, \, g \}$$

Vejam que “A” é um subconjunto do espaço amostral . Ou seja, “A” é um evento. Genericamente, se em vez de 2 trabalhássemos com qualquer outro “k” real, o conjunto obtido continuaria sendo um evento. Assim, poderíamos formar o conjunto dos elementos cuja imagem é menor ou igual a 3. Ou então, menor/igual a 4. Ou menor/igual a 3.785.986. E assim por diante. Qualquer que seja o “k” escolhido, o resultado final será sempre um evento.

Por fim, observem ainda que não temos nenhum elemento tal que sua imagem seja igual a menos infinito ou mais infinito.

Com isso em mente, vamos acrescentar mais coisas à nossa definição.

Uma variável aleatória real X é uma função que tem como domínio o espaço amostral e como contradomínio os números reais e que satisfaz a:

Primeira condição:

$$ \forall k \in \mathbb R, \mbox{ o conjunto } A: \{w \in \Omega: X(w) \le k \} \mbox{ é um evento} $$

Segunda condição:

$$ P(w \in \Omega: X(w) = \infty) = P(w \in \Omega: X(w) = – \infty) = 0$$