Caderno de probabilidade para RFB

13 ago 2012

Na nossa série de cadernos para RFB, hoje montei um caderno contendo 18 questões de probabilidade da Esaf, resolvidas.

Esse assunto é extremamente importante, sobretudo para o cargo de AFRFB, visto que é a base para toda a parte de estatística inferencial.

Vamos aproveitar o post de hoje para revisar as principais fórmulas de probabilidade.

Considere o espaço amostral $S$ , correspondente aos possíveis resultados do lançamento de um dado:

$S= \{ 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6 \}$

Sejam $A$ e $B$ dois subconjuntos a seguir indicados:

$A= \{1, \, 2 \}$

$B= \{2, \, 3, \, 4 \}$

Qual a probabilidade de ocorrer o evento $A$ ?

Basta pensar assim: se jogássemos o dado muitas e muitas vezes, todas as faces sairiam 1/6 das vezes. Assim, a face 1 sairia 1/6 das vezes, e a face 2 também. Logo, os resultados do conjunto $A$ ocorreriam em 1/6 + 1/6 = 2/6 das vezes. Portanto, a probabilidade do evento $A$ é 2/6.

$P(A)= 2 \div 6$

Essa é a chamada abordagem frequentista da probabilidade. É a principal abordagem para questões de concursos públicos, porque dá conta de todas as questões cobradas.

Cada face do dado corresponde a um conjunto unitário. Tais conjuntos são chamados de eventos elementares. Quando todos os eventos elementares têm a mesma probabilidade, aí podemos também indicar a probabilidade como a relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

Acima, o evento $A$ tem dois elementos (dois casos favoráveis) e são seis casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5 e 6). Logo, a probabilidade do evento $A$ é de 2/6.

Analogamente, descobrimos que a probabilidade de $B$ é de 3/6, pois são 3 elementos, em um total de 6:

$P(B)= 3 \div 6$

A Esaf cobra muitas questões que envolve apenas esse conhecimento de casos possíveis e casos favoráveis. Geralmente, devemos usar a análise combinatória para contar quantos são os casos possíveis e quantos são os casos favoráveis.

Bom, continuando com o exemplo do dado.

Suponha que queremos calcular a probabilidade da intsercção entre $A$ e $B$ .

Temos:

$A \cap B= \{2 \}$

Esse conjunto tem 1 elemento. Logo, sua probabilidade é de 1 em 6, ou 1/6.

$P(A \cap B) = 1 \div 6$

Agora vamos calcular a probabilidade da união. Vejamos:

$A \cup B=\{1, \, 2, \, 3, \, 4 \}$

Esse conjunto tem 4 elementos. Logo, a probabilidade da união é de 4/6.

$P(A \cup B)=4 \div 6$

Há uma fórmula que relaciona as probabilidades da união e da intersecção:

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)- P(A \cap B)$

Vejam:

${4 \over 6}={2 \over 6}+{3 \over 6}-{1 \over 6}$

Se os eventos forem mutuamente excludentes, então é porque eles não têm intersecção. Nesse caso, a probabilidade da união se resume à soma das probabilidades:

$\mbox{eventos mutuamente excludentes: } P(C \cup D) = P(C)+P(D)$

Outro importante resultado é a probabilidade condicional. A probabilidade de $A$ , dado que $B$ ocorreu é:

$P(A|B)={P(A \cap B) \over P(B)}$

Se é dado que $B$ ocorreu, então os casos possíveis se restringem a: {2, 3, 4}.

Os casos favoráveis seriam aqueles que perntencem a $A$ , ou seja, {1, 2}. No entanto, já sabemos que o resultado “1” não ocorreu, pois não pertence a $B$ . Ficamos então com um único caso favorável: {2}. Isso em três casos possíveis. A probabilidade de $A$ , dado $B$ , é 1/3.

$P(A|B)={1 \over 3}$

Podemos também aplicar a fórmula:

$P(A|B)={P(A \cap B) \over P(B)} = {1 \div 6 \over 3 \div 6}={1 \over 3}$

Se dois eventos forem independentes, então o fato de um evento ocorrer não altera a probabilidade do outro.

Assim, se $E$ e $F$ forem independentes, então:

$P(E|F)={P(E \cap F) \over P(F)}$

$P(E)={P(E \cap F) \over P(F)}$

Acima substituímos $P(E|F)$ por $P(E)$ , pois os eventos são independentes. Agora passamos o denominador multiplicando:

Ou seja, quando dois e
ventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

Evidentemente, não esgotamos o assunto de probabilidade, mas demos uma passada rápida por importantes resultados.

Para praticar, dirija-se então à seção de cadernos direcionados, filtre pelos cadernos de raciocínio lógico, e clique no caderno de número 13, que montei para você.

Bons estudos!!!

Vítor Menezes